Regroupement de consensus à l'aide de l'union définie

J'ai déjà posté cette question il y a un certain temps sur MathOverflow , mais à ma connaissance, elle est toujours ouverte, donc je la republie ici dans l'espoir que quelqu'un en ait entendu parler.

Énoncé du problème

Soit , Q et R trois partitions en p parties non vides (désignées par P h , Q i et R j ) de l'ensemble { 1 , 2 , … , n }. Trouvez deux permutations π et σ qui minimisent p ∑ i = 1 | P i ∪ Q π i ∪ R σ i | $P$$Q$$R$$p$$P_h$$Q_i$$R_j$$1,2,\ldots,n$$\pi$$\sigma$

$$\sum_{i=1}^p\left|P_i\cup Q_{\pi_i}\cup R_{\sigma_i}\right|.$$

Des questions

1) Quelle est la complexité de ce problème (ou du problème de décision correspondant)?

2) Si le problème est effectivement résoluble en temps polynomial, reste-t-il vrai pour tout nombre de partitions?$k\geq 4$

Précédent travail

Berman, DasGupta, Kao et Wang ( http://dx.doi.org/10.1016/j.ipl.2007.06.008 ) étudient un problème similaire pour les partitions , mais en utilisant Δ par paire au lieu de ∪ dans la somme ci-dessus. Ils prouvent que le problème est MAX-SNP-difficile pour k = 3 , même lorsque chaque partie n'a que deux éléments, en réduisant MAX-CUT sur les graphiques cubiques à un cas particulier de leur problème, et donnent un ( 2 - 2 / k ) -approximation pour tout k . Jusqu'à présent, je n'ai pas pu trouver mon problème dans la littérature, ni adapter leur preuve.$k$$\Delta$$\cup$$k=3$$(2-2/k)$$k$

Sous-cas faciles

Voici quelques sous-cas que j'ai trouvé résolubles en temps polynomial:

• le cas ;$k=2$
• le cas , pour tout k ;$p=2$$k$

De plus, lorsque , il n'y a pas deux parties égales et toutes les parties ont une taille 2 , nous avons la borne inférieure 3 p + 1 (je ne sais pas si c'est serré).$k=3$$2$$3p+1$

Le problème est NP-difficile. La preuve est par réduction du problème suivant:

Étant donné un graphe tripartite avec N sommets dans chaque partie, y a-t-il N triangles sommet-disjoints dans G ?$G$$N$$N$$G$

$G$$A_1$$A_2$$A_3$$G$$E_{ij}$$A_i$$A_j$$1,\dotsc,N$

$n = |E(G)| + M$$M$$M = 10 |E(G)|$$p = N + 1$$|E(G)|$$\{1,\dotsc,n\}$$G$$P$$P_i$$i=1,\dotsc,N$$i$$A_1$$E_{1,2} \cup E_{1,3}$$P_{N+1}$$E_{2,3} \cup \{|E(G)| + 1, \dotsc, |E(G)| + M\}$$Q$$A_2$$A_1$$R$$A_3$$A_1$

$3|E(G)| - 3N + M$$G$$N$$M$$2 M$$P_{N+1}$$Q_{N+1}$$R_{N+1}$$|E(G)| + M$$2 |E(G)| - 3 N$$P_i$$Q_j$$P_i$$R_k$$Q_j$$R_k$$N$$G$