Oiseaux ivres vs fourmis ivres: promenades aléatoires entre deux et trois dimensions

Il est bien connu qu'une marche aléatoire dans la grille bidimensionnelle retournera à l'origine avec la probabilité 1. Il est également connu que la même marche aléatoire en TROIS dimensions a une probabilité strictement inférieure à 1 de revenir à l'origine .

Ma question est:

Y a-t-il quelque chose entre les deux? Par exemple, supposons que mon espace était en fait une région délimitée du plan extrudé à l'infini dans la direction z. (ce qu'on appelle souvent 2,5 dimensions). Les résultats en deux dimensions s'appliquent-ils ou en trois dimensions?

Cela est apparu dans les discussions, et un argument heuristique disant qu'il se comporte en deux dimensions est que, puisque la région finie de l'avion sera éventuellement recouverte, la seule partie non triviale de la marche est le rayon unidimensionnel le long de la direction z, et ainsi de retour à l'origine se produira.

Y a-t-il d'autres formes qui interpolent entre le cas à deux D et le cas à trois D?

Mise à jour (tirée des commentaires): une question connexe a été posée sur MO - un bref résumé est que si la marche est même (2 + ϵ) dimensionnelle, un retour incertain découle librement d'une série divergente. Cependant, la question ci-dessus est légèrement différente de l'OMI car je pose des questions sur d'autres types de formes qui pourraient admettre un certain retour.

pr.probability random-walks markov-chains

— Suresh Venkat
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Je ne sais pas grand chose sur le sujet mais la percolation est venue ma pensée! Que diriez-vous de marcher au hasard sur des percolations? Semble susceptible d'être candidat à des résultats dimensionnels fractionnaires pour tout

n > 1

$n > 1$

— vs

dans quel sens voulez-vous dire entre les deux? Il ne semble pas y avoir beaucoup entre 1 et strictement inférieur à 1; voulez-vous donc que l'entre-deux soit respecté par rapport à la dimension de l'espace? En d'autres termes, une réponse doit-elle être une promenade sur quelque chose avec une mesure naturelle de la dimension?

— Artem Kaznatcheev

(2 + ϵ)

$(2+\epsilon)$

Promenades aléatoires sur les courbes fractales .

— Aaron Sterling

z

$z$

Réponses:

Probability on Trees and Networks by Peres and Lyons le mentionne au chapitre 2 (page 50):

$\mathbb{Z}^2$ $\mathbb{Z}^3$

$W_{f} := {(x, y, z) : | z | \leq f (| x |)}$ $W_f := \{ (x, y, z) : |z| \leq f(|x|) \}$
$f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ $W_f \cap \{(x, y, z) : |x| \text{ or } |y| \leq n\}$ $n(f(n)+1)$

$\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n (f (n) + 1)} = \infty$ $\sum_{n \geq 1}\frac{1}{n(f(n)+1)} = \infty$
est suffisant pour une récidive.

— Marcin Kotowski
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c'est une excellente référence, et a une technique générale pour déterminer quand ces promenades divergent. Agréable !

— Suresh Venkat

Une marche aléatoire en 3D dans un espace 3x3x3 (comme un cube de Rubik) a une probabilité inférieure à une de retourner à l'origine, si la marche commence à l'extérieur; mais celui d'un espace 2x2x2 en est un, tout comme l'espace 3x3x3 avec l'origine au centre. Il semble donc qu'il existe des formes intermédiaires, mais peut-être pas très nombreuses.

— xpda
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Mais un tore est bidimensionnel. Je ne trouve pas surprenant qu'il revienne à son point de départ. On dirait un cas spécial de 2D.

— John Moeller

Et borné! Il devrait être encore plus facile de revenir à l'origine que dans l'avion.

— Derrick Stolee

Oups, tu as raison. Je vais le modifier sous une autre forme.

— xpda