Problèmes entre P et NPC

La factorisation et l'isomorphisme des graphes sont des problèmes dans NP qui ne sont connus ni pour P ni pour NP-Complete. Quels autres problèmes naturels (suffisamment différents) partagent cette propriété? Les exemples artificiels directement issus de la démonstration du théorème de Ladner ne comptent pas.

Est-ce que l'un de ces exemples est un NP-intermédiaire prouvable, en supposant seulement une hypothèse "raisonnable"?

Voici une collection de certaines des réponses des problèmes entre P et NPC:

• Affacturage
• Problèmes d'isomorphisme: Isomorphisme de graphe [pas NPC à moins que ] (via @Jeff Kinne), automorphisme de graphe, isomorphisme de groupe, automorphisme, isomorphisme en anneau et automorphisme (via @Joshua Grochow)$\sum_2^p=\prod_2^p$
• Calcul de la distance de rotation entre deux arbres binaires ou de la distance de retournement entre deux triangulations du même ensemble de points planaires (via @David Eppstein)
• The Turnpike Problème de reconstruction de points en ligne à distance (via @Suresh Venkat)
• Problèmes découlant de la conjecture de jeux unique (via @Moritz)
• Discrete Log Problem et d’autres liés aux hypothèses cryptographiques (via @Joe Fitzsimons)
• Détermination du gagnant dans les jeux de parité (via @mashca)
• Déterminer qui a les plus grandes chances de gagner une partie stochastique (via @ Peter Shor sur MO)
• Problèmes de nombres dans les boîtes (via @Joshua Grochow)
• Contrôle de l'agenda pour les tournois équilibrés à élimination unique (via @virgi)
• Noeud trivialité (via @JeffE)
• (En supposant NEXP ≠ EXP) des versions complétées des problèmes complets de NEXP (via @Joshua Grochow)
• Problèmes dans le TFNP (via @Marcos Villagra)
• SAT monotone à intersections (via @ András Salamon)
• Problème de taille de circuit minimale (via @Eric Allender)
• Déterminer si une variété 3 triangulée donnée est une 3 sphère (via @ Joe O'Rourke et @ Peter Shor)
• Le problème du stock avec un nombre constant de longueurs d'objets (via @Suresh Venkat)
• Double duel monotone (via @Danu)
• Bisection minimale planaire (via @turkistany)
• Pigeonhole Subset Sum (via @ user834)
• Somme de racine carrée (via @JeffE)
• Décider si un graphique admet une étiquette élégante (via @Oleksandr Bondarenko)
• Version d' espacement du vecteur le plus proche dans le problème de réseau GapCVP (via @MCH)$(\sqrt{n})$
• Le problème de la divisibilité linéaire [connu pour être complet mais pas NPC] (via @Oleksandr Bondarenko)$\gamma$
• Trouver la dimension VC (via @Mohammad al Turkistany)
• Trouver le set dominant minimum dans un tournoi (via @Mohammad al Turkistany)
• Planarité groupée

Mon problème préféré dans cette classe (je vais le formuler comme un problème fonctionnel, mais il est facile de se transformer en un problème de décision de la manière standard): calculer la distance de rotation entre deux arbres binaires (de manière équivalente, la distance de retournement entre deux triangulations de un polygone convexe).

Un problème qui n'est mentionné ni dans cette liste ni dans la liste de MO est le problème de la déviation. Avec un multiset de n (n-1) / 2 nombres, chaque nombre représentant la distance entre deux points de la ligne, reconstruit les positions des points d'origine.

Notez que ce qui est non négligeable, c’est que, pour un nombre donné d dans le multiset, vous ne savez pas quelle paire de points est séparée de d.

Bien qu'il soit connu que pour un cas donné, il n'y a qu'un nombre polynomial de solutions, on ne sait pas comment en trouver une!

Le problème de la somme des racines carrées: Soit deux suites et b 1 , b 2 , … , b n d’entiers positifs, vaut A : = ∑ i $a_1, a_2, \dots, a_n$$b_1, b_2, \dots, b_n$ inférieur, égal ou supérieur àB:=∑i$A := \sum_i \sqrt{a_i}$ ?$B := \sum_i \sqrt{b_i}$

• Le problème a un algorithme trivial en temps sur la RAM réelle - calculez simplement les sommes et comparez-les! - mais cela n'implique pas l'appartenance à P.$O(n)$

• Il existe un algorithme évident de précision finie, mais on ne sait pas si un nombre polynomial de bits de précision est suffisant pour la correction. (Voir http://maven.smith.edu/~orourke/TOPP/P33.html pour plus de détails.)

• Le théorème de Pythogorean implique que la longueur de toute courbe polygonale dont les sommets et les extrémités de nombre entier est une somme de racines carrées de nombres entiers. Ainsi, le problème de la somme des racines est inhérent à plusieurs problèmes de géométrie de calcul planaire, notamment les arbres à recouvrement minimaux euclidiens , les chemins les plus courts euclidiens , les triangulations de poids minimal et le problème du voyageur voyageur euclidien . (Le problème MST euclidien peut être résolu en temps polynomial sans résoudre le problème de la somme des racines, grâce à la structure matroïde sous-jacente et au fait que l'EMST est un sous-graphe de la triangulation de Delaunay.)

• Il est un algorithme aléatoire polynomial, en raison de Johannes Blömer , de décider si les deux sommes sont égales. Cependant, si la réponse est non, l'algorithme de Blömer ne détermine pas quelle somme est la plus grande.

• La version de décision de ce problème (Est-ce que ?) N'est même pas connue pour être en NP. Cependant, l'algorithme de Blömer implique que si le problème de décision est dans NP, il l'est aussi dans co-NP. Il est donc peu probable que le problème soit NP-complet.$A > B$

Voici une liste de problèmes qui peuvent ou non être qualifiés de "suffisamment" différents. Selon la même preuve que pour l’isomorphisme de graphe, si l’un d’eux est NP-complet, la hiérarchie polynomiale s’efface au deuxième niveau. Je ne pense pas qu'il y ait un large consensus sur lequel de ces "devrait" être dans P.

• Automorphisme de graphique (détermine si un graphique a un automorphisme non trivial). Réduit pour représenter graphiquement l'isomorphisme, mais pas connu (pas pensé?) Pour être GI-difficile.
• Isomorphisme et automorphisme de groupe (où les groupes sont donnés par leurs tables de multiplication). Encore une fois, réduit au graph isomorphisme, mais pas pensé pour être GI-difficile.
• Isomorphisme en anneau et automorphisme. En un sens, c'est le grand-père de tous les problèmes ci-dessus, car la factorisation d'entiers équivaut à la recherche d'un automorphisme non trivial d'un anneau, et l'isomorphisme des graphes se réduit à l'isomorphisme des anneaux. Voir Neeraj Kayal, Nitin Saxena. Complexité des problèmes de morphisme en anneau. Complexité informatique 15 (4): 342-390 (2006). (Fait intéressant, déterminer si un anneau a un automorphisme non trivial se trouve dans )$P$
• Cet article de Bill Gasarch contient quelques autres problèmes avec le goût de la théorie de Ramsey qui semblent pouvoir être intermédiaires.
• D'après le théorème de Mahaney, aucun ensemble épars ne peut être NP-complet. Mais nous savons aussi qu'il ya des jeux rares dans - P ssi N E X P est pas égal à E X P . Donc , en supposant N E X P ≠ E X P , la version rembourrée de toute $NP$$P$$NEXP$$EXP$$NEXP \neq EXP$ problème -complete est de complexité intermédiaire. (Un tel ensemble ne peut être en P que si N E X P = E X $NEXP$$P$$NEXP = EXP$, contredisant notre hypothèse.) Il existe de nombreux problèmes naturels -complets.$NEXP$

Le problème de la taille de circuit minimale (MCSP) est mon problème "naturel" préféré dans NP dont on ne sait pas qu'il est NP-complet: étant donné la table de vérité (de taille n = 2 ^ m) d'une fonction booléenne f étant donné un nombre s, f a-t-il un circuit de taille s? Si MCSP est simple, il n’existe pas de fonction unidirectionnelle cryptographiquement sécurisée. Ce problème et ses variantes ont largement motivé l'étude des algorithmes de "force brute" en Russie, ce qui a conduit les travaux de Levin sur la complétude des NP. Ce problème peut également être considéré en termes de complexité de Kolmogorov liée aux ressources: demander si une chaîne peut être récupérée rapidement à partir d'une courte description. Cette version du problème a été étudiée par Ko; le nom MCSP a été utilisé en premier lieu par Cai et Kabanets, à ma connaissance. Plus de références peuvent être trouvées dans certains de mes articles: http://ftp.cs.rutgers.edu/pub/allender/KT.pdf http://ftp.cs.rutgers.edu/pub/allender/pervasive.reach.pdf

Auto-dualité monotone

Pour toute fonction booléenne $f=f(x_1, x_2, ..., x_n)$ , il est dual est $f^d=\bar{f}(\bar{x_1}, \bar{x_2}, ..., \bar{x_n})$ . Compte tenu de $f(x_1, x_2, ..., x_n)$représenté par une formule CNF, nous devons décider si $f=f^d$ .

Ce problème est en co-NP [ $\log^2 n$ ], c’est-à-dire qu’il est décidable avec des étapes non déterministes $O(\log^2n/ \log\log n)$ . Ainsi, il a un algorithme de temps quasi-polynomiale ( $O(n^{\log n/\log \log n})$ le temps), et il est donc peu susceptible d'être co-NP-dur.

Il est toujours possible de savoir si ce problème est dans P ou non. On trouvera plus de détails dans l'article de 2008 intitulé " Aspects informatiques de la dualisation monotone: un bref aperçu " de Thomas Eiter, Kazuhisa Makino et Georg Gottlob.

Nœud trivialité: Étant donné une chaîne polygonale fermée dans l'espace à 3, est-il non noué (c'est-à-dire isotopique ambiante à un cercle plat)?

Ceci est connu pour être dans NP par profondeur des résultats dans la théorie des surfaces normales, mais aucun algorithme poly-temps ou preuve de dureté NP n'est connu.

On ne sait pas s'il est possible de décider en temps polynomial si le joueur 1 a une stratégie gagnante dans une partie à parité (à partir d'une position de départ donnée). Le problème est toutefois contenu dans NP et co-NP et même dans UP et co-UP.

Vous avez une très longue liste de problèmes si vous êtes prêt à accepter des problèmes d’approximation, tels que l’approximation de Max-Cut dans un facteur de 0,878. Nous ne savons pas si c'est NP-difficile ou en P (connaissons seulement la dureté NP en supposant la conjecture de Uniuqe Games).

Dans une formule CNF monotone, chaque clause ne contient que des littéraux positifs ou uniquement des littéraux négatifs. Dans un formule CNF monotone se croisant, chaque clause positive a une variable en commun avec chaque clause négative.

Le problème de la décision

$f$
$f$

$n^{o(\log\ n)}$

• Thomas Eiter et Georg Gottlob, Calcul transversal hypergraphique et problèmes connexes en logique et intelligence artificielle , JELIA 2002. doi: 10.1007 / 3-540-45757-7_53

Une variété 3-triangulée donnée est-elle une 3-sphère? De Joe O'Rourke.

La version en cascade de Subset Sum (ou Egalité de sous-ensemble).

Donné:

$S_1, S_2 \subseteq \{ 1, \dots, n \}$

Le problème de la somme des sous-groupes de casiers demande une telle solution. Initialement indiqué dans " Algorithmes d'approximation efficaces pour le problème SUBSET-SUMS EQUALITY" de Bazgan, Santha et Tuza.

Il y a beaucoup de problèmes liés à la recherche de sous-groupes cachés. Vous avez parlé de la factorisation, mais il y a aussi le problème de log discret, ainsi que d'autres liés aux courbes elliptiques, etc.

Voici un problème de choix social de calcul qui n'est pas connu pour être dans P, et qui peut ou non être NP-complet.

Contrôle de l'agenda pour les tournois équilibrés à élimination unique:

$T$$n=2^k$$a$

Question: existe-t-il une permutation des nœuds (une parenthèse ) de sorte que a soit le vainqueur du tournoi à élimination unique induit?

$P_k$$2^k$$V$$T$$V$$P_{k-1}$$2^{k-1}$$i>0$$P_k[2i-1]$$P_k[2i]$$e$$T$$P_{k-1}[i]=P_k[2i-1]$$e=(P_k[2i-1],P_k[2i])$$P_{k-1}[i]=P_k[2i]$$P_k$$T$$P_{k-1}$$2^k$$k$$P_{k-1},\ldots,P_0$$2^k$

Contrôle de l'agenda pour les tournois équilibrés à élimination unique (formulation de graphique):

$T$$n=2^k$$a$

$T$$2^k$$a$

$2^k$$x$$a$$2^{k-1}$$x$$2^{k-1}$$y$$x$$y$$k=0$ , une arborescence binomiale n'est que la racine.) Les arborescences binomiales couvrantes d'un graphique de tournoi capturent exactement les tournois à élimination unique qui peuvent être joués, en fonction des informations sur le résultat du match figurant dans le graphique du tournoi.

Quelques références:

1. Jérôme Lang, Maria Silvia Pini, Francesca Rossi, Kristen Brent Venable, Toby Walsh: Détermination des gagnants lors du vote à la majorité séquentielle. IJCAI 2007: 1372-1377.
2. N. Hazon, PE Dunne, S. Kraus et M. Wooldridge. Comment truquer les élections et les compétitions. COMSOC 2008.
3. Thuc Vu, Alon Altman, Yoav Shoham. Sur la complexité des problèmes de contrôle du calendrier pour les tournois à élimination directe. AAMAS (1) 2009: 225-232.
4. V. Vassilevska Williams. Fixer un tournoi. AAAI 2010.

Jetez un coup d'œil à la classe TFNP . Il a beaucoup de problèmes de recherche avec un statut intermédiaire.

Le problème de l'isomorphisme de sous-graphe induit a des "restrictions de gauche" NP-incomplètes, en supposant que P n'est pas égal à NP. Voir Y. Chen, M. Thurley, M. Weyer: Comprendre la complexité des isomorphismes de sous-graphes induits , ICALP 2008.

$NP$$NP$

Problème de bisection minimum: recherchez une partition de l'ensemble de nœuds en deux parties de taille égale, de manière à minimiser le nombre d'arêtes se croisant.

Karpinski, approximabilité du problème de bisection minimum: un défi algorithmique

Le problème de stock de coupe avec un nombre constant de longueurs d'objet. Voir cette discussion pour plus d'informations.

$n$$v$$1$$v$$\beta$$v$$\beta > 1$

$\beta = \sqrt{n}$$\mathsf{NP} \cap \mathsf{coNP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\beta$$\beta = n^{o(1/\log \log n)}$$\mathsf{NP}$

$G = (V,E)$$f$$v\in V$$f(v)$$e = uv\in E$$|f(u) − f(v)|$$f : V\rightarrow \{0, 1, 2,\dots, |E|\}$$\{1, 2,..., |E|\}$

1. JA Gallian. Une enquête dynamique sur l’étiquetage graphique. The Electronic Journal of Combinatorics, 2009.
2. DS Johnson. La colonne NP-complétude: Un guide en cours. J. Algorithms, 4 (1): 87-100, 1983.
3. DS Johnson. La colonne NP-complétude. ACM Transactions on Algorithms, 1 (1): 160–176, 2005.

$P$$NP$$O(n^{\log n})$$NP$$NP$

$a$$b$$a \cdot x+1$$b$

$\gamma$

Garey et Johnson dans leur séminal "Computers and Intractability" disent (pp. 158-159):

$\gamma$$R_M$$M$

$$R_M=\{\langle x,y\rangle:there\ is\ a\ string\ z\ such\ that\ on\ input\ x\ and\ guess\ z\ M\ has\ output\ y\}$$

$L_1$$\Sigma_1$$\gamma$$L_2$$\Sigma_2$$L_1\propto_{\gamma}L_2$$M$$x\in\Sigma_1^*$$y\in\Sigma_2^*$$\langle x,y\rangle\in R_M$$\langle x,y\rangle\in R_M$$x\in L_1$$y\in L_2$$M$$x$$x$$x$$L_2$$x\in L_1$

$P$$NP$$O(n^{\log n})$

On pense que le problème suivant est NP-Intermédiaire, c’est-à-dire qu’il s’agit de NP mais pas de P ni de NP-complet.

Problème de racine polynomiale (EPRP)

$p(x)$$\deg(p) \geq 0$$GF(q)$$q$$r$

$\deg(p)=0$

Pour plus de détails, voir ma question et la discussion connexe .

Je ne sais pas si le problème de l'isomorphisme hypergraphique pondéré proposé dans la réponse de Thinh D. Nguyen ne peut être simplement démontré qu'il est complet. Cependant, il existe un problème GI-difficile étroitement lié à l'IG, qui n'a pas encore été réduit à l'IG, à savoir le problème de l'isomorphisme de chaîne (également appelé problème d'isomorphisme de couleur ). C'est le problème que László Babai a montré que son époque était quasi polynomiale. Elle présente un intérêt indépendant, car elle équivaut à un certain nombre de problèmes de décision en théorie des groupes (permutation):

• problème d'intersection coset
• problème de test d'adhésion double coset
• problème de factorisation de groupe

Le problème de la recherche d’un arbre de Steiner minimal lorsque l’on promet que les sommets de Steiner tombent sur deux segments de droite se coupant à un angle de 120 ° est un problème qui n’est connu ni dans la PF ni dans le NP-dur. Si l'angle entre les segments de ligne est inférieur à 120 °, le problème est NP-difficile. On suppose que, lorsque l'angle est supérieur à 120 °, le problème se situe en PF.

Par conséquent, le problème de décision suivant semble être actuellement d'une complexité intermédiaire:

$q$
$q$

Bien sûr, cela peut en fait être en P ou être NP-complet, mais il semblerait alors que nous aurions une dichotomie intéressante à 120 ° au lieu d’un problème intermédiaire. (La conjecture peut aussi être fausse.)

• JH Rubinstein, DA Thomas, NC Wormald, Steiner Arbres pour terminaux bornés à des courbes , SIAM J. Discrete Math. 10 (1) 1–17, 1997. doi: 10.1137 / S0895480192241190

$G_1$$G_2$$n$$\pi$$G_1$$G_2$$NP$