Le comptage des cliques maximales dans un graphique d'incomparabilité # P-complet?

Cette question est motivée par une question MathOverflow de Peng Zhang . Valiant a montré que le comptage des cliques maximales dans un graphique général est # P-complet, mais que se passe-t-il si nous nous limitons aux graphiques d'incomparabilité (c'est-à-dire que nous voulons compter les antichaines maximales dans un poset fini)? Cette question semble assez naturelle pour que je soupçonne qu'elle ait été envisagée auparavant, mais je n'ai pas pu la localiser dans la littérature.

— Timothy Chow
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Selon cet abrégé pour «La complexité du comptage des coupes et du calcul de la probabilité qu'un graphique soit connecté» (SIAM J. Comput. 12 (1983), pp. 777-788), compter les anti-chaînes dans un ordre partiel est # P-complet. Je n'ai pas accès à ce document, donc je ne peux pas dire si ce résultat couvre ou non les chaînes maximales.

— mhum
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@ András: Je pense que leur résultat est de compter les antichaines (qui ne sont pas forcément maximales). Il peut être facile de voir que le comptage des antichaines maximales est également # P-complet, mais je ne le vois pas.

— Tsuyoshi Ito

@ András: La question concerne les antichaines maximales, pas les antichaines à cardinalité maximale. Je n'ai pas étudié la réduction du papier, alors peut-être que leur réduction prouve également la complétude # P de compter les antichaines maximales en même temps, mais au moins ce sont des problèmes différents.

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi: vous avez raison, le papier Provan / Ball montre seulement que compter les antichaines à cardinalité maximale est # P-difficile. Retour à la planche à dessin ...

— András Salamon

En fait, si vous regardez la preuve, vous verrez que l'exhaustivité # P est prouvée pour une classe de posets dans laquelle toutes les antichaines maximales ont la même cardinalité. A savoir, commencez par n'importe quel graphe biparti

avec

sommets et construisez un graphe biparti

avec

sommets en ajoutant

nouveaux sommets

nouveaux arêtes

G = (V, E)

$G=(V,E)$

n

$n$

G^{'}

$G'$

2 n

$2n$

n

$n$

{v^{'} : v \in V}

$\{v' : v\in V\}$

n

$n$

{(v, v^{'}) : v \in V}

$\{(v,v'): v\in V\}$ . Alors, si

V_{1}

$V_1$

V_{2}

$V_2$ est une bipartition de l'ensemble de sommets de

, définir un poset sur

en réglant

G^{'}

$G'$

V_{1} \cup V_{2}

$V_1\cup V_2$

x < y

$x<y$

x \in V_{1}

$x\in V_1$

y \in V_{2}

$y\in V_2$

x

$x$

y

$y$

G^{'}

$G'$