Les graphiques bord-sommet des expanseurs polytopes (décents) sont-ils?

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Cette question est inspirée de la conjecture polynomiale de Hirsch (PHC). Étant donné un polytope à facettes dans , l'écart spectral de son graphe bord-sommet (appelons-le ) est-il limité par ? Notez que le graphique du cycle sur sommets montre que, même pour , l'écart spectral pourrait être aussi petit que $n$ $P$ $\mathbb R^d$ $G$ $\Omega(1/\mathrm{poly}(n))$ $n$ $d=2$ $O(1/\mathrm{poly}(n))$ ; de sorte que la conjecture liée - si elle est vraie - serait presque serrée.

Une réponse oui impliquerait le PHC. En fait, cela impliquerait également que les programmes linéaires peuvent être résolus efficacement par une simple marche aléatoire sur les sommets des polytopes, et cet algorithme ne prête même pas beaucoup d'attention à la fonction objectif! Cela semble trop beau pour être vrai.

Alors, quel est le statut de ce problème: ouvert (comme PHC), ou faux? Si faux, existe-t-il de simples contre-exemples?

Remarque : Je viens de me rendre compte des complications habituelles impliquées dans la définition des expandeurs: n'a pas besoin d'être régulier ou bipartite. J'espère que ces deux problèmes techniques pourront être surmontés en utilisant des méthodes standard et que, en particulier, ils ne rendront pas ma question triviale. (S'il vous plait corrigez moi si je me trompe!) $G$

co.combinatorics linear-programming expanders

— Srivatsan Narayanan
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Quelqu'un peut-il expliquer comment cette question est liée aux nouvelles limites inférieures sous-exponentielles pour les règles de pivotement randomisées pour l'algorithme simplex? Oliver Friedmann, Thomas Dueholm Hansen et Uri Zwick. 2011. Limites inférieures sous-exponentielles pour les règles de pivotement aléatoires pour l'algorithme simplex. Dans Actes du 43e symposium annuel de l'ACM sur la théorie de l'informatique (STOC '11). ACM, New York, NY, USA, 283-292. DOI = 10.1145 / 1993636.1993675 doi.acm.org/10.1145/1993636.1993675

— Tyson Williams

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Pour les polytopes 0/1 (toutes les coordonnées des sommets sont 0 ou 1), cela n'est pas connu pour être vrai. Il y a une conjecture par Mihail et Vazirani que l'expansion de bord du graphique d'un polytope 0/1 est au moins un. Plus d'informations sont décrites dans un article de Volker Kaibel .

Je devrais noter deux choses. (1) Pour les polytopes 0/1, la conjecture de Hirsch est vraie . (2) Lors d'une marche aléatoire sur les sommets d'un polytope, nous devons prendre soin d'une éventuelle dégénérescence. Un sommet peut correspondre à un grand nombre de bases, et donc la marche peut rester au même sommet si nous effectuons une marche aléatoire sur les bases. Si nous voulons effectuer une marche aléatoire sur les sommets, nous devons avoir une procédure qui donne un sommet adjacent aléatoire.

— Yoshio Okamoto
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$n^{[d/2]}$

J'ai prouvé une séparation 1 / poly (n) pour les polytopes "duels au voisin". (Ce fut mon premier tir sur la conjecture polynomiale de Hiresch ".)" Le diamètre des graphiques de polytopes convexes et la théorie des vecteurs "Géométrie appliquée et mathématiques discrètes, 387–411, DIMACS Ser. Discrete Math. Theoret. Comput. Sci. , 4, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1991.

— Gil Kalai
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