Puzzle de bâtons de coupe

Problème: on nous donne un ensemble de bâtons ayant tous des longueurs entières. La somme totale de leurs longueurs est n (n + 1) / 2.

Pouvons-nous les casser pour obtenir des bâtons de taille en temps polynomial? ${1,2,\ldots,n}$

Étonnamment, la seule référence que je trouve pour ce problème est cette ancienne discussion:

http://www.iwriteiam.nl/cutsticks.html

Que sait-on d'autre du problème? Pouvons-nous prouver que le problème est «dans les limbes»?

Mise à jour: Le problème des bâtons de coupe a la contrainte que chaque bâton est long d' au moins unités. (Voir les commentaires et la réponse de Tsuyoshi pour le cas non contraint).$n$

Attention: Comme Jukka Suomela a commenté la question, la page liée à la question concerne un problème différent du problème indiqué dans la question en ce que le problème sur la page a une restriction que les longueurs des bâtons donnés sont supérieures ou égales à n. Cette réponse concerne le problème sans cette restriction. Étant donné que le commentaire d'Emil sur la question fait référence au problème de la restriction, il n'y a pas de contradiction entre son commentaire et la réponse suivante.

Le problème est NP-complet, même si les nombres sont donnés en unaire.

Le problème des 3 partitions est le problème suivant:
Instance : entiers positifs a ₁ ,…, a _n en unaire, où n = 3m et la somme des n entiers est égale à mB, de sorte que chaque a _i satisfait B / 4 < a _i <B / 2.
Question : Les entiers a ₁ ,…, a _n peuvent-ils être partitionnés en m multisets de sorte que la somme de chaque multiset soit égale à B?

Le problème des 3 partitions est NP-complet même si un ₁ ,…, un _n sont tous distincts [HWW08] (merci à Serge Gaspers de m'en avoir parlé ). Il est possible de réduire cette version restreinte du problème des 3 partitions au problème en question comme suit.

Supposons que l'on nous donne une instance du problème à 3 partitions composé d'entiers positifs distincts a ₁ ,…, a _n . Soit m = n / 3 et B = (a ₁ +… + a _n ) / m, et soit N le maximum parmi a _i . Considérons l'instance suivante du problème de bâton: l'instance se compose d'un bâton de longueur k pour chaque k∈ {1,…, N} ∖ {a ₁ ,…, a _n } et m bâtons de longueur B. En utilisant le fait que chaque a _i satisfait a _i > B / 4 ≥ N / 2, il est facile de prouver que ce problème de stick a une solution si et seulement si l'instance du problème à 3 partitions a une solution.

Les références

[HWW08] Heather Hulett, Todd G. Will, Gerhard J. Woeginger. Réalisations Multigraph de séquences de degrés: la maximisation est facile, la minimisation est difficile. Lettres de recherche opérationnelle , 36 (5): 594–596, septembre 2008. http://dx.doi.org/10.1016/j.orl.2008.05.004