Soit G un arbre sur 2n sommets. La largeur d'arbre de G, tw (G) = 1. Supposons maintenant que nous ajoutons n arêtes à G pour obtenir un graphique H. Une borne supérieure facile sur tw (H) est n + 1. Est-ce essentiellement la meilleure possible?
Il semble que tw (H) devrait être O (sqrt (n)), mais ce n'est qu'un vague pressentiment. Connaissons-nous de meilleures limites supérieures que O (n) pour la largeur d'arbre d'un graphe obtenue en ajoutant n arêtes à un arbre sur 2n sommets?
Réponses:
Votre modèle n'est pas vraiment moins général que de poser des questions sur des graphes arbitraires à 3 réguliers, et les graphes à 3 expanseurs réguliers ont une largeur d'arbre linéaire. Je ne connais donc pas les facteurs constants, mais Θ (n) est le mieux possible, oui.
Comme l'a souligné David, vous demandez essentiellement des limites sur la largeur d'arbre d'un graphique connecté avec un degré moyen 3. Pour le cas plus spécial des graphiques à 3 régularités, les limites inférieures et supérieures suivantes peuvent être obtenues. Notant par pw (G) la largeur de chemin d'un graphe G, il est clair que
(1) tw (G) <= pw (G) pour tout graphique G (car une décomposition de chemin est une décomposition d'arbre)
Il est prouvé dans [1] que
(2) Pour chaque \ epsilon> 0, il existe un entier n_0 tel que pour tout graphe 3 régulier G sur n> = n_0 sommets, pw (G) <= n / 6 + \ epsilon * n.
Cela vous donne une limite supérieure d'environ n / 6 sur la largeur de l'arborescence des graphiques 3-réguliers.
Pour une borne inférieure presque sûre, je cite de [2]:
"Comme les graphiques cubiques aléatoires ont presque sûrement une largeur de bissection d'au moins 0,101 n (Kostochka, Melnikov, 1992), ils n'ont presque sûrement pas de séparateur de taille inférieure à n / 20" et donc presque sûrement pas de décomposition d'arbre de largeur inférieure à n / 20 .
Pour une borne inférieure "sûre" sur la largeur de bissection, [3] a montré une famille infinie de graphes à 3 régularités, de sorte que chaque graphique G = (V, E) de cette famille a une largeur de bissection d'au moins 0,082 * | V |.
[1] Fedor V. Fomin, Kjartan Høie: largeur de chemin des graphes cubiques et algorithmes exacts. Inf. Processus. Lett. 97 (5): 191-196 (2006)
[2] Jaroslav Nesetril, Patrice Ossona de Mendez: Diplômé et classes avec expansion bornée II. Aspects algorithmiques. EUR. J. Comb. 29 (3): 777-791 (2008)
[3] Sergei L. Bezrukov, Robert Elsässer, Burkhard Monien, Robert Preis, Jean-Pierre Tillich: Nouvelles limites spectrales inférieures sur la largeur de bissection des graphiques. Théor. Comput. Sci. 320 (2-3): 155-174 (2004)