La diagonalisation capture-t-elle l'essence de la séparation des classes?

Je ne me souviens pas d'avoir vu une séparation de classes non basée sur des résultats de diagonalisation et de relativisation. La diagonalisation pourrait toujours être utilisée pour séparer les classes connues restantes, car des arguments non relativisants pourraient toujours être utilisés dans la conclusion de la diagonalisation ou dans la construction de la machine de Turing diagonalisée. Voici quelques questions connexes:

Existe-t-il des preuves de séparation de classes non basées sur la diagonalisation?

Et si oui

Pouvons-nous trouver un mécanisme d'auto-référence derrière eux?

Plus loin,

chaque séparation de classes a-t-elle une preuve «canonique naturelle» (dans un sens informel)?

Si c'est le cas, nous devrions essayer de trouver des arguments non relativisants, plutôt que d'autres schémas de preuve pour les questions ouvertes.

Chaque épreuve non diagonale peut-elle être réécrite en une diagonale?

Cela dépend de la façon dont vous formalisez la diagonalisation. Kozen a un papier qui montre que toute séparation de classe de complexité doit être une preuve de diagonalisation.

Puisque la diagonalisation relativise, tout résultat de complexité impliquant des relativisations contradictoires ne peut pas être basé sur la diagonalisation. Citant Arora-Barak :

$O$$O \subseteq \{0, 1\}^*$

$P$$NP$$P\ne NP$

$P^{PH} \subseteq IP$

Pour ajouter à la réponse de Fortnow, poursuivant le travail de Kozen, Nash, Impagliazzo et Remmel ont formalisé une notion de forte diagonalisation et ont donné des preuves qu'elle ne relativise pas. Pour répondre partiellement à votre première question, leurs résultats montrent que certaines preuves de séparation de classe ne peuvent pas être basées sur une forte diagonalisation. Voici le résumé:

Nous définissons et étudions une diagonalisation forte et la comparons à une diagonalisation faible, implicite dans [7]. Le résultat de Kozen dans [7] montre que pratiquement chaque séparation peut être refondue en diagonalisation faible. Nous montrons qu'il existe des classes de langues qui ne peuvent pas être séparées par une forte diagonalisation et apportons la preuve qu'une forte diagonalisation ne se relativise pas. Nous définissons également deux types de diagonalisation indirecte et étudions leur puissance.

Puisque nous définissons une forte diagonalisation en termes de langages universels, nous étudions leur complexité. Nous distinguons et comparons les langages universels faibles et stricts. Enfin, nous analysons certaines variantes apparemment plus faibles des langages universels, que nous appelons langages pseudo-universels, et montrons que dans des conditions de fermeture faibles, ils produisent facilement des langages universels.

1-Nash, A., Impagliazzo, R., Remmel; J. «Les langages universels et le pouvoir de la diagonalisation». 18e conférence annuelle de l'IEEE sur la complexité informatique (CCC'03), p. 337, 2003.

Existe-t-il des preuves de séparation de classes non basées sur la diagonalisation?

Oui, il y en a, mais pas pour les classes de complexité uniformes. Nous n'avons pas d'argument pour exclure de telles preuves, mais jusqu'à présent, toutes les séparations entre les classes de complexité uniformes semblent utiliser la diagonalisation à un certain endroit.

Pouvons-nous trouver un mécanisme d'auto-référence derrière eux?

Je ne pense pas que les séparations de classes de complexité non uniformes puissent être transformées en arguments "d'auto-référence" car ce ne sont pas des classes uniformes et ne peuvent pas être énumérées, et pour un argument d'auto-référence, nous devons énumérer les membres de la classe.

chaque séparation de classes a-t-elle une preuve «canonique naturelle» (dans un sens informel)?

Cela dépend de ce que vous entendez par «canonique». AFAIK, il n'y a pas de consensus sur les réponses à la question "quand deux preuves sont identiques par essence?".

Si c'est le cas, nous devrions essayer de trouver des arguments non relativisants, plutôt que d'autres schémas de preuve pour les questions ouvertes. Chaque épreuve non diagonale peut-elle être réécrite en une diagonale?

Comme d'autres l'ont souligné, la réponse dépend de ce que vous entendez par diagonalisation. Dans le sens plus général (l'article de Kozen lié par Lance), la réponse est oui pour deux "classes de complexité" différentes (telles que définies dans l'article de Kozen). Vous pouvez transformer l'argument en argument de "diagonalisation". Mais:

1. cela ne s'applique pas aux classes de complexité qui ne satisfont pas aux exigences énoncées dans l'article de Kozen (c'est-à-dire qu'il ne s'agit pas de "classes de complexité" de Kozen).
2. $P$$PSpace$
3. l'important est que plus une méthode est générale, plus ses applications sont limitées (si elle est utilisée par elle-même) car la méthode a besoin de fonctionner pour plus de cas et c'est une restriction sur la méthode, on ne peut pas utiliser le spécifique les informations que nous avons sur le problème si elles ne sont pas partagées ou ne peuvent pas être remplacées par quelque chose de similaire pour d'autres problèmes que nous voulons leur appliquer.
4. Nous pouvons transformer les arguments de séparation en arguments de "diagonalisation" (compte tenu de la restriction que j'ai mentionnée ci-dessus), mais le fait que "la fonction de diagonalisation sépare vraiment les classes" lui-même a besoin d'une preuve. L'article de Kozen montre qu'il existe une fonction de diagonalisation si les classes sont différentes, mais comment savoir qu'une fonction donnée est vraiment diagonalisante? Nous avons besoin d'une preuve! Et le papier (AFAIU) ne nous donne aucune idée sur la façon de trouver ces preuves. Si nous avons un argument de séparation, nous pouvons le transformer en preuve de diagonalisation, mais ce n'est qu'aprèsavoir une preuve. La preuve d'origine fera partie de la nouvelle preuve de diagonalisation, elle montrera que la fonction est vraiment diagonalisante. (Et dans un sens, la preuve de diagonalisation construite à partir du papier de Kozen ne sera pas "canonique" car elle dépendra complètement de l'argument d'origine.)