Pour quel k est PLANAR NAE k-SAT en P?

Le problème Not All Equal -SAT (NAE -SAT), étant donné un ensemble de clauses sur un ensemble de variables booléennes telles que chaque clause contient au plus littéraux, demande s'il existe une affectation de vérité des variables telles que chaque clause contient au moins un vrai et au moins un faux littéral. $k$ $k$ $C$ $X$ $k$

Le problème PLANAR NAE -SAT est la restriction de NAE -SAT aux cas où le graphique bipartite d'incidence de et (c'est-à-dire le graphique des parties et avec une arête entre et si et seulement si ou appartient à ), est plan. $k$ $k$ $C$ $X$ $C$ $X$ $x\in X$ $c\in C$ $x$ $\overline{x}$ $c$

On sait que NAE 3-SAT est NP-complet (Garey et Johnson, Computers and Intractability; A Guide to the Theory of NP-Completeness), mais PLANAR NAE 3-SAT est en P (voir Planar NAE3SAT est en P, B Moret, ACM SIGACT News, Volume 19 Numéro 2, été 1988 - malheureusement je n'ai pas accès à cet article).

PLANAR NAE -SAT est-il en P pour certains ? Y a-t-il une valeur de pour laquelle il a été démontré qu'elle est NP-complète? $k$ $k\geq 4$ $k$

— Florent Foucaud
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PLANAR NAE -SAT est en P pour toutes les valeurs de . $k$ $k$

La raison en est que nous pouvons réduire PLANAR NAE -SAT à PLANAR NAE -SAT. Soit une instance de PLANAR NAE -SAT, et supposons que contient une clause avec les littéraux . Introduisez une nouvelle variable et remplacez par deux clauses NAE et . contient littéraux , $k$ $3$ $\phi$ $k$ $\phi$ $C$ $\ell_1, \ell_2, \dots, \ell_k$ $v_C$ $C$ $C_1$ $C_2$ $C_1$ $3$ $\ell_1$ $\ell_2$ et , tandis que contient littéraux . Il est facile de voir que est satisfiable si est et que la transformation préserve la planarité. Maintenant, nous pouvons appliquer à plusieurs reprises cette procédure sur les clauses pour finalement obtenir une instance de NAE -SAT comme souhaité. $v_C$ $C_2$ $k-1$ $\bar{v}_C, \ell_3, \ell_4, \dots, \ell_k$ $C$ $C_1 \wedge C_2$ $\phi'$ $3$

— Arnab
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Très bonne réponse. Etait-ce déjà connu?

— Serge Gaspers

Il semble que cette réduction "fonctionne" même sans la condition planaire, elle est donc probablement "connue"

— Suresh Venkat

@Serge J'en suis sûr, mais je ne connais pas de référence.

— arnab

Il s'agit d'une réduction standard, qui fonctionne également pour les SAT «ordinaires». Vous pouvez le trouver par exemple dans le livre de Sipser "Introduction à la théorie du calcul" et dans bien d'autres.

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