Quelle est la complexité de Nurikabe (éventuellement succinct)?

Nurikabe est un puzzle de remplissage de grille basé sur des contraintes, semblable à celui du Démineur / Nonogrammes; les nombres sont placés sur une grille qui doit être remplie avec des valeurs d'activation / désactivation pour chaque cellule, chaque nombre indiquant une région de cellules connectées «on» de cette taille, et quelques contraintes mineures sur la région des cellules «off» (il doit être connecté et ne peut pas contenir de régions 2x2 contiguës). La page Wikipedia contient des règles plus explicites et des exemples d'énigmes.

De manière générale, les puzzles de ce type ont tendance à être NP-complets, et Nurikabe ne fait pas exception; ils tombent dans NP parce que la solution elle-même sert de témoin (polynomialement vérifiable) du problème. Mais contrairement à la plupart des puzzles similaires, les instances Nurikabe peuvent être succinctes: le Sudoku sur une grille nécessite que g ( n ) données soient résolubles (si moins de n - 1 données sont proposées, alors il n'y a aucun moyen de distinguer les symboles manquants) , Les nonogrammes nécessitent évidemment au moins une donnée pour chaque ligne ou colonne, et le démineur doit avoir des données sur au moins $n\times n$$\Theta(n)$$n-1$ des cellules ou il y aura des cellules pas à côté d'une donnée (et dont le statut ne peut donc pas être déterminé). Mais alors que les Givens d'un cassetête Nurikabe doivent totaliserΘ(n2), il est possible d'avoirO(1)givens chacun de cette taille,sorte quethetav(log(n))bits peut être suffisant pour spécifier un cassetête Nurikabe de taillen- ou inversant,kbits peuvent être suffisants pour spécifier une instance Nurikabe de taille exponentielle enk, ce qui signifie que la seule garantie est que le problème réside dans NEXP.$1\over16$$\Theta(n^2)$$\mathrm{O}(1)$$\Theta(\log(n))$$n$$k$$k$

Malheureusement, les preuves de la dureté de Nurikabe ont trouvé toutes les constructions d'utilisation avec des données de taille constante, de sorte que leurs instances sont polynomiales dans la taille de la grille plutôt que logarithmiques, et je ne peux pas exclure que toutes les solutions solubles soient succinctes «Les puzzles Nurikabe ont une structure supplémentaire de sorte que les solutions peuvent être décrites et vérifiées tout aussi succinctement; par exemple, l'exemple je sais d'un puzzle avec 2 Givens de taille Θ ( n 2 ) conduit à des régions à la fois sur et hors des cellules qui sont chacune l'union de O ( 1 $\Theta(n^2)$$\Theta(n^2)$$\mathrm{O}(1)$rectangles, et ont donc une description succincte de leurs propres. Quelqu'un connaît-il des recherches supplémentaires qui ont été effectuées dans ce casse-tête au-delà du résultat de base de la complétude NP, et en particulier d'autres résultats de complexité pour les cas éventuellement succincts?

(Remarque: cela a été initialement demandé à math.SE , mais il n'y a pas encore de réponse et cela semble convenir au niveau de la recherche pour ce site)

Vous semblez vraiment vous demander: Nurikabe est-il dans NP?

Nurikabe est NP-difficile, car on peut construire des gadgets de taille polynomiale qui peuvent être utilisés pour réduire un problème NP-complet à un problème de décision Nurikabe. C'est ce que font Holzer, Klein et Kutrib, ainsi que McPhail et Fix dans leur affiche (tous deux référencés dans l'article Wikipedia).

Les deux groupes d'auteurs supposent que le problème est insignifiant dans NP et écartent la question de l'appartenance. Votre malaise à propos d'instances succinctes semble parfait - je ne pense pas que le problème soit lié à NP. Considérez la manière suivante pour formaliser le problème de décision:

BINARY NURIKABE
Entrée: entiers m et n en binaire , représentant une carte Nurikabe, et une liste de triplets, chacun indiquant une position sur la carte et un entier positif écrit dans cette position.
Question: les positions de planche restantes peuvent-elles être colorées en deux couleurs, en respectant les contraintes Nurikabe?

$m$$n$$mn$

$(m-2)(n-2)$$m \times n$$mn-1$$\Theta(\log\, m + \log\, n)$

Votre question devient alors: existe-t-il des certificats de taille polynomiale pour toutes les instances binaires Nurikabe, qui peuvent être vérifiés en temps polynomial?

Il n'est pas évident pour moi que de tels certificats existent nécessairement. Il n'est pas non plus évident de savoir comment procéder pour prouver que des certificats succincts et rapidement vérifiables ne peuvent pas exister.

Cependant, la restriction à des solutions uniques signifie que le problème est en réalité dur aux États- Unis, donc co-NP-difficile, et donc peu susceptible d'être en NP. Le fait est que si l'on considère "a une solution unique" comme une contrainte Nurikabe (par opposition à une caractéristique souhaitable des instances présentées aux humains), il ne suffit pas de démontrer qu'il existe une solution, mais il faut aussi démontrer qu'aucune autre solution n'est possible. Cette exigence suffit à elle seule pour garantir que le problème n'est probablement pas dans NP. Cela est vrai même pour la version unaire du problème.

En résumé: si l'on assouplit l'exigence de solutions uniques et spécifie la taille de la carte en unaire, alors le problème de décision est en NP; avec des solutions non uniques et la taille de la carte binaire, il n'est pas clair si le problème de décision est en NP; et avec des solutions uniques, le problème de décision est difficile à résoudre aux États-Unis et il est donc peu probable qu'il soit en NP, que ce soit pour l'encodage de la taille de la carte.