Peut-on amplifier P = NP au-delà de P = PH?

Dans la complexité descriptive , Immerman a

Corollaire 7.23. Les conditions suivantes sont équivalentes:
1. P = NP.
2. Structures sur finies et ordonnées, FO (LFP) = SO.

Cela peut être considéré comme "amplifiant" P = NP en une déclaration équivalente sur (probablement) des classes de complexité plus grandes. Notez que SO capture la hiérarchie temps polynomial PH et que FO (LFP) capture P, ce qui peut être considéré comme P = NP ssi P = PH.

(La partie intéressante de ceci est l'affirmation que P = NP implique P = PH; il est trivial que P = CC implique P = NP pour toute classe CC contenant NP. Immerman se contente de dire "si P = NP, alors PH = NP" , vraisemblablement parce que P = NP peut être utilisé avec la définition de PH de Oracle pour montrer par induction que toute la hiérarchie s’effondre.)

Ma question est:

Jusqu'où peut-on amplifier P = NP de cette façon?

En particulier, quelle est la plus grande classe connue CC 'telle que P = NP implique P = CC' et la plus petite classe CC telle que P = NP implique CC = NP? Cela permettrait de remplacer P = NP par la question équivalente CC = CC '. P semble être une classe assez puissante, qui semble offrir peu de marge de manœuvre pour les arguments qui tentent de la séparer de NP: dans quelle mesure la marge de manœuvre peut-elle être amplifiée?

Bien entendu, un argument montrant que P = PH est la limite de cette approche m'intéresserait également.

Edit: notez la question étroitement liée Pourquoi P = NP n'implique-t-il pas P = AP (c'est-à-dire P = PSPACE)? qui se concentre sur l’autre direction, pourquoi nous n’avons pas de preuves que P = PSPACE. Dans leurs réponses, Kaveh et Peter Shor soutiennent que le nombre d’alternations à fixer est essentiel. Une autre question connexe est Un problème de décision dont on ne sait pas qu'il est dans PH mais qui sera dans P si P = NP qui demande un problème candidat; les réponses peuvent également être utilisées pour construire des réponses à cette question, bien que ces classes soient quelque peu artificielles (merci à Tsuyoshi Ito de l'avoir signalé). Dans un contexte plus général, effondrement de la machine de turing limitée par alternance et temps alternatif demande si un effondrement local à un niveau quelconque dans une hiérarchie d'alternance induit un effondrement vers le haut, comme cela se produit avec la hiérarchie polynomiale.

Commentaire de Russell Impagliazzo :

Afin de formaliser les langues en si P = N P , Regan a introduit la classe de complexité $\mathsf{P}$$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$\mathsf{H}$ . Un langage est H si et seulement si L est P O par rapport à chaque oracle O de telle sorte que P O = N P O . Ainsi, L est dans H si l'énoncé P = N $L$$\mathsf{H}$$L$$\mathsf{P}^O$$O$$\mathsf{P}^O=\mathsf{NP}^O$$L$$\mathsf{H}$ relativise. P H ⊆ H ⊆ A l t T i m e ( O $\mathsf{P}=\mathsf{NP} \implies L\in\mathsf{P}$ . D'après le théorème de Toda et quelques-uns des lemmes du théorème de Toda, il est également vrai que H ⊆ P m o d q P pour tout q . Fondamentalement, tout oracle satisfaisant à P O = N P O donne une nouvelle limite supérieure sur$\mathsf{PH} \subseteq \mathsf{H} \subseteq \mathsf{AltTime}(O(\lg\lg n),\mathsf{poly})$$\mathsf{H} \subseteq \mathsf{P}^{\mathsf{mod}_q \mathsf{P}}$$q$$\mathsf{P}^O=\mathsf{NP}^O$ . Il est ouvert si H = P H .$\mathsf{H}$$\mathsf{H}=\mathsf{PH}$

Et du commentaire de Lance Fortnow :

Soit une fonction non bornée. H ne figure pas dans A l t T i m e ( f ( n $f(n)$$\mathsf{H}$ et si on pouvait prouver P = N P implique P = A l t T i m e ( f ( n ) , p o l y ) puis$\mathsf{AltTime}(f(n),\mathsf{poly})$$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$\mathsf{P}=\mathsf{AltTime}(f(n),\mathsf{poly})$ est différent de L .$\mathsf{NP}$$\mathsf{L}$

Pour la définition de voir définition 6.3 dans$\mathsf{H}$

• Kenneth W. Regan, " Ensembles d'index et présentations de classes de complexité ", 1999

Comme je l'ai écrit dans ma réponse à l'autre question, rendons l'argument constructif et uniforme dans le nombre d'alternances en donnant un algorithme qui résout supposant que nous ayons un algorithme polynomial pour SAT et voyons ce que nous obtiendrions si k n'est pas constant.$\Sigma^P_k$$k$

Soit un DTM à deux entrées x et y . Pensez-y comme un vérificateur pour un problème N $M$$x$$y$$\mathsf{NP}$

$Cook(M, \vec{n}, t)$$M$$s(\vec{n},t) \in \mathsf{poly}$$M$$\vec{n}$$t$

$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$A$$p\in\mathsf{poly}$

$s_i$$i$$s_{i+1} = s\circ p(s_i)$$k$$q(n) = (s \circ p)^k(n)$$n$ est la taille de la formule TQBF donnée en entrée.

$k$$q(n) \in \mathsf{poly}$$\mathsf{P}$

$k \in \omega(1)$$q(n)$$n^{2^{O(k)}}$$k = \lg \lg n$$k = \lg n$

$C$

$C$$\mathsf{H}$$\mathsf{H}$$\mathsf{P}$$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$

$\mathsf{BPP} = \mathsf{PP}$$\mathsf{IP} = \mathsf{PSpace}$

Je trouve aussi l'idée qu'il n'y a qu'une seule façon correcte de relativiser une problématique de classe de complexité, ce qui cause beaucoup d'idées fausses (comme penser la relativisation en tant qu'opération fonctionnelle sur les classes de complexité dans leur sens extensional, une relativisation est une modification d'un modèle de calcul , pas une classe de fonctions ou de langues). Je pense que voir les relativisations comme des cadres de calcul modifiés (interactifs) est plus utile. De cette façon, il existe de nombreuses manières utiles de relativiser une classe de complexité (dans son sens intentionnel). Pour obtenir des informations sur le paramètre non relativisé à partir d'un cadre relativisé, nous avons besoin d'un principe de transfert similaire à celui utilisé dans l'analyse non standard.. Notez que choisir une méthode de relativisation particulière pour les classes qui préservent les relations connues entre les classes ne nous donne pas un principe de transfert (c’est le principal critère généralement utilisé dans la littérature pour décider de ce qui est "la" relativisation correcte d’une classe).