Réponses:
La conjecture connexe de Khot implique le théorème PCP avec une complétude parfaite: La preuve devrait donner un étiquetage des sommets. Le vérificateur sélectionne un bord aléatoire interroge ses extrémités et accepte si la contrainte est respectée.
Pour obtenir un théorème PCP parfaitement complet à partir de la conjecture de jeux unique, vous devez, comme l'écrit Boaz, convertir un PCP en un PCP parfaitement complet. Une façon de le faire est:
Ajoutez de nouvelles variables une par contrainte et modifiez la contrainte à satisfaire si la nouvelle variable est vraie, ou bien si la contrainte était précédemment satisfaite. Maintenant, la question est réduite à trouver un PCP pour décider si un ensemble de m bits (= les nouveaux vars) a une somme au plus ou au moins ( 1 - s ) ⋅ m . Cela semble être une question non triviale, mais plus facile que le théorème du PCP.
Cela dépend un peu de la façon dont vous définissez le théorème PCP, que ce soit avec une parfaite complétude ou non. Comme nous l'indiquons dans notre livre, une forme équivalente du théorème du PCP est qu'il existe un problème de satisfaction des contraintes pour lequel il est difficile de distinguer NP entre le cas satisfaisable parfait et le cas où l'on peut satisfaire au plus une fraction
La conjecture des jeux uniques est une hypothèse de cette dernière forme (où, rendre la condition plus forte est proche de
Vous pouvez demander s'il existe une transformation facile pour convertir un PCP avec une perfection imparfaite en un avec une complétude parfaite. Je pense que cela peut probablement être fait plus facilement que de prouver le théorème du PCP, mais je ne suis pas au courant d'un argument très simple.