Problèmes en NP mais pas en Moyenne-P / poly

Le théorème de Karp – Lipton déclare que si , alors s'effondre en . Par conséquent, en supposant des séparations entre et , aucun problème complet n'appartiendra à .P H Σ P 2 Σ P 2 Σ P 3 N P P / p o l $\mathsf{NP} \subset \mathsf{P/poly}$$\mathsf{PH}$$\mathsf{\Sigma^P_2}$$\mathsf{\Sigma^P_2}$$\mathsf{\Sigma^P_3}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P/poly}$

Je m'intéresse à la question suivante:

En supposant que ne s'effondre pas, ou en supposant toute autre hypothèse raisonnable de complexité structurelle, quels problèmes difficiles en moyenne se sont avérés ne pas résider dans (le cas échéant)?N P A v e r a g e - P / p o l $\mathsf{PH}$ $\mathsf{NP}$$\mathsf{Average\mbox{-}P/poly}$

Une définition de peut être trouvée dans les relations entre la complexité du cas moyen et celle du pire . Merci à Tsuyoshi d'avoir souligné que j'ai en fait besoin d'utiliser au lieu de .A v e r a g e - P / p o l y P / p o l $\mathsf{Average\mbox{-}P/poly}$$\mathsf{Average\mbox{-}P/poly}$$\mathsf{P/poly}$

Je pense qu'il y a des problèmes tels que (les versions de décision de) FACTORING ou DLOG qui sont supposés résider dans , mais la conjecture n'est pas prouvée sur la base de séparations entre classes de complexité. (Corrigez-moi si j'ai tort, s'il-vous plait.)$\mathsf{NP} - \mathsf{Average\mbox{-}P/poly}$

Il s'agit d'une version légèrement améliorée de mes deux commentaires sur la question combinée.

Limitons notre attention aux problèmes de distribution dans DistNP (aka (NP, P-computable)) pour plus de simplicité. Ensuite, vous recherchez un problème dans DistNP ∖ Moyenne-P / poly. Tautologiquement, un tel problème existe si et seulement si DistNP ⊈ Moyenne-P / poly. Et si DistNP ⊈ Average-P / poly, alors chaque problème DistNP-complete se situe en dehors de Average-P / poly parce que Average-P / poly est fermé sous les réductions de cas moyen.

(Le fait de considérer une classe SampNP plus large (aka (NP, échantillonnable P) ) au lieu de DistNP ne change pas beaucoup la situation car DistNP ⊆ Moyenne-P / poly si et seulement si SampNP ⊆ Moyenne-P / poly. Cette équivalence est une corollaire du résultat d'Impagliazzo et Levin [IL90] selon lequel chaque problème de distribution dans SampNP est réductible en cas moyen à un problème de distribution dans DistNP.)

Je ne sais pas quelle hypothèse naturelle implique DistNP ⊈ Moyenne-P / poly. L'hypothèse selon laquelle la hiérarchie polynomiale ne s'effondre pas n'est pas connue pour impliquer une conséquence encore plus faible que DistNP ⊈ Moyenne-P, selon la section 18.4 d'Arora et Barak [AB09]: «[…] même si nous savons que si P = NP , puis la hiérarchie polynomiale PH s'effondre en P […], nous n'avons pas de résultat analogue pour la complexité moyenne des cas. »

Les références

[AB09] Sanjeev Arora et Boaz Barak. Complexité informatique: une approche moderne , Cambridge University Press, 2009.

[IL90] Russell Impagliazzo et Leonid A. Levin. Il n'y a pas de meilleure façon de générer des instances NP dures que de sélectionner uniformément au hasard. In the 31th Annual Symposium on Foundations of Computer Science , 812–821, octobre 1990. http://dx.doi.org/10.1109/FSCS.1990.89604