Dureté des problèmes FPT

13

Vertex Cover peut être facilement réduit en jeu indépendant et vice versa.

Cependant, dans un contexte de complexité paramétrée, l'ensemble indépendant est plus difficile que Vertex Cover. Un noyau avec sommets existe pour Vertex Cover, mais Independent Set est W 1 hard. $2k$

Comment la nature de l'ensemble indépendant change-t-elle dans le contexte FPT et pourquoi?

cc.complexity-theory parameterized-complexity fixed-parameter-tractable

— Nikhil
source

9

Idée principale de la réponse: si nous réduisons une instance de l'ensemble indépendant paramétré à Vertex Cover paramétré, alors le paramètre que nous nous retrouvons dépend de la taille du graphique, et ne dépend pas seulement du paramètre d'entrée. Maintenant, pour plus de détails.

Comme vous le savez, un problème paramétré est en (uniforme) FPT s'il existe un algorithme qui décide si une entrée est contenue dans dans le temps pour une fonction . $Q$ $(x,k)$ $Q$ $f(k) |x|^{O(1)}$ $f$

Puisque vous pouvez décider si un graphe a une couverture de sommet de taille en sélectionnant une arête et en se ramifiant sur lequel de ses deux points d'extrémité mettre dans la couverture de sommet, cette ramification ne va que profondeur (sinon vous avez mis plus de sommets dans la couverture), et s'exécute facilement dans le temps ; donc -Vertex Cover est en FPT. $G$ $k$ $k$ $k$ $O(2^k n^2)$ $k$

Supposons maintenant que nous voulons essayer d'utiliser cet algorithme pour montrer que l'ensemble indépendant paramétré est en FPT; supposons qu'on nous donne un graphe sur sommets et que nous voulons décider s'il a un ensemble indépendant de taille . Cela revient à demander si a une couverture de sommet de taille . Nous utilisons donc notre algorithme ci-dessus pour calculer la réponse en temps . Pour notre algorithme FPT, la fonction exponentielle dans le temps d'exécution peut dépendre du paramètre, qui est , mais elle ne peut PAS dépendre de la taille de l'entrée, qui est $G$ $n$ $\ell$ $G$ $n - \ell$ $O(2^{n - \ell} n^2)$ $\ell$ $n$ ; mais l'approche que nous avons esquissée utilise une exponentielle temporelle en et n'est donc pas un paramètre FPT par rapport au paramètre . C'est pourquoi le fait que Vertex Cover soit en FPT n'implique pas que l'Independent Set soit en FPT. $n - \ell$ $\ell$

— Bart Jansen
source

Merci pour toutes vos réponses. Dans un contexte de complexité paramétrée, je comprends l'idée lorsque j'essaie d'étudier la dureté de l'ensemble indépendant, en raisonnant à partir de Vertex Cover. Cependant, je n'ai trouvé aucune explication concernant Independent Set, indépendamment du contexte de la couverture Vertex? Y a-t-il quelque chose dans la structure (ou la nature inhérente) pour trouver un ensemble indépendant qui le rend plus difficile?

— Nikhil

Bart, pourquoi n'y a-t-il pas de paramètre

pour lequel la réduction fonctionne comme souhaité?

k

$k$

— Raphael

@Raphael: Pourriez-vous clarifier votre question? Les seuls paramètres "autorisés" par la question de l'OP sont les tailles de solution respectives. Si nous autorisons des paramètres arbitraires, alors il y en a beaucoup pour lesquels la réduction fonctionne comme souhaité (si j'ai bien compris cette phrase): Par exemple, si nous gardons le paramètre comme "taille de la couverture de sommet de taille minimale" pour les deux problèmes, alors les deux sont FPT; MinVC par l'argument de Bart et MaxIndSet par le même argument et en utilisant la réduction de l'OP. Ce n'est que lorsque nous insistons sur le fait que le paramètre de MaxIndSet est la taille de sa solution que le problème devient W [1] -hard.

— gphilip

Vous comprenez parfaitement ma question! En ce sens, la question du PO est mal posée: il n'a de sens que de parler de complexité paramétrée pour des paires de problème (paramètre non paramétré). J'ai mentalement comblé le vide avec un "forall", ce qui signifie que j'ai lu la réponse de Bart dans le sens "pour tous les

", et j'ai pensé que c'était faux / incomplet. Par conséquent ma question. D'ailleurs, d'autres réponses ont le même problème. Apparemment, tout le monde sauf moi comble le vide avec le choix canonique.

k

$k$

— Raphael

6

Je ne dirais pas que la «nature» du problème change, quoi que cela soit censé signifier. Tout ce qui change, c'est le paramètre, c'est-à-dire la façon dont vous mesurez la difficulté du problème.

Les graphiques qui ont une couverture de sommet de taille au plus sont si structurés qu'il est possible de les réduire efficacement en taille: nous pouvons trouver avec avidité une correspondance maximale de taille au plus et le reste du graphique est un ensemble indépendant de taille au moins . En utilisant des règles de réduction telles que la réduction de la couronne, le nombre de sommets peut être réduit à au plus . $k$ $k$ $n-2k$ $2k$

D'un autre côté, les graphiques qui ont des couvertures de sommets de taille au plus (ou de manière équivalente, les indépendants maximum ont une taille au moins ) ne semblent pas avoir une structure aussi simple. Cela peut être précisé, comme vous le faites remarquer: leur structure nous permet de coder tout problème . $n-k$ $k$ $W[1]$

— Holger
source

4

Ce qui suit peut donner une certaine intuition pour la différence. Un sous-ensemble de sommets S est une couverture de sommets de G = (V, E) si et seulement si VS est un ensemble indépendant, donc si MVC est la taille d'une couverture de sommets minimale, alors MIS = | V | -MVC est la taille de l'ensemble indépendant maximum. Un algorithme FPT paramétré par X permet une exécution exponentielle en fonction de X. Un graphe aléatoire sur n sommets avec une probabilité de bord de moitié a avec une probabilité élevée MIS de taille environ 2logn et MVC de taille environ n-2logn. Ainsi, au moins pour ces graphes, un algorithme FPT paramétré par MVC laisse simplement beaucoup plus de temps qu'un paramétré par MIS.

4

Bien que je sois d'accord avec ce que les autres ont dit, une autre façon que je trouve utile lorsque je pense à ces choses est de refondre le problème comme un problème de reconnaissance, c.-à-d. / "Le graphe en entrée appartient-il à la famille des graphes ayant un ensemble indépendant d'au moins k?".

Intuitivement, une famille de graphiques plus restreinte devrait être plus facile à reconnaître qu'une famille plus riche et plus générale. La famille de graphiques de couverture de sommets au plus k est très restreinte, en fait chacun de ces graphiques peut être décrit en utilisant seulement bits, ce qui est beaucoup moins que les bits habituels nécessaires , en supposant que k est significativement plus petit que n. La famille de graphes d'ensemble indépendant d'au moins k en revanche est très riche: tout graphe peut être édité pour lui appartenir en supprimant au plus arêtes. $O(k^2+2^k\log n)$ $O(n^2)$ $k^2$

Donc, pour moi, c'est une explication intuitive pour laquelle je m'attendrais à ce qu'il soit plus facile de reconnaître une petite couverture de sommet qu'un petit ensemble indépendant. Bien sûr, il devrait être évident que les pensées ci-dessus sont loin d'être un argument formel et je suppose qu'en fin de compte, la preuve la plus convaincante qu'il est en effet plus difficile de reconnaître un ensemble indépendant de taille k est exactement la dureté W de l'indépendance ensemble!

— Michael Lampis
source

k^{2}

$k^2$

k

$k$

(\binom{k}{2}) + k \cdot (n - k - 1)

$\binom{k}{2} + k \cdot (n - k - 1)$

k

$k$

n

$n$

k

$k$ $k$

k \cdot (k - 1) \leq k^{2}

$k \cdot (k-1) \leq k^2$

k

$k$

3

Il s'agit d'une réponse très indirecte qui pourrait ne pas répondre tout à fait à votre préoccupation. Mais FPT et la hiérarchie W sont étroitement liés à l'approximation (les problèmes FPT ont souvent des PTAS, etc.). Dans ce contexte, notez que pour tout graphique, VC = n - MIS, et donc une approximation pour VC ne donne pas une approximation pour MIS. C'est pourquoi vous avez besoin de réductions L pour les approximations. Je soupçonne qu'il existe également une notion équivalente de "réduction de la préservation du noyau" pour la complexité paramétrée.

— Suresh Venkat
source

Y a-t-il une notion de «réduction préservant le noyau» en FPT?

— Nikhil

I don't know: hence the quotes :). I'm waiting for the parametrized complexity experts to chime in.

— Suresh Venkat

2

You just summoned it! ;)

— Raphael

4

There is such a notion: a polynomial time-and-parameter transformation. Parameterized problem P polynomial-time-and-parameter transforms to Q (read:

P \leq_{p t p} Q

$P \leq _{ptp} Q$ ) if there is a polynomial time algorithm which given an instance

(x, k)

$(x,k)$ of problem

P

$P$ , outputs in polynomial time an equivalent instance

(x^{'}, k^{'})

$(x', k')$ of

Q

$Q$ such that

k^{'} \in k^{O (1)}

$k' \in k^{O(1)}$ . The use for kernelization is as follows: if

P \leq_{p t p} Q

$P \leq_{ptp} Q$ ,

Q

$Q$ has a polynomial kernel and the classical versions of

P

$P$ and

Q

$Q$ are NP-complete, then

P

$P$ has a poly kernel as well. ( dx.doi.org/10.1007/978-3-642-04128-0_57 )

— Bart Jansen

Another paper stating some relations between approximability and FPT is [dx.doi.org/10.1016/S0020-0190(97)00164-6] where they show that if a problem is W[1]-hard than it cannot admit an efficient PTAS where the objective function is also the parameter. An efficient PTAS has time complexity

O (2^{1 / ϵ} n^{k})

$O(2^{1/\epsilon}n^k)$ , while a time complexity

O (n^{1 / ϵ})

$O(n^{1/\epsilon})$ is not allowed. The same result is also in Bazgan's thesis.

— Gianluca Della Vedova