Conséquences de problèmes complets pour NP intersecte coNP


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Quelles sont les conséquences d'avoir des problèmes complets dans ?NPcoNP



Je connais ce lien. Ma question porte sur les conséquences. Par exemple, si la langue L est complète pour alors PH s'effondre au i- ème niveau, ou quelque chose comme ça. NPcoNPi
Marcos Villagra

En fait, j'ai posé la même question qu'un commentaire dans ce lien, mais je voulais en faire une vraie question.
Marcos Villagra

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Oui, je sais que vous le savez, mais la page mathoverflow fournit des informations de fond utiles pour les autres.
Jukka Suomela

Réponses:


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Il s'agit d'un problème (large) ouvert; comme dans, on ne sait presque rien. Plus précisément, en raison de la difficulté à prouver les problèmes complets de NPcoNP , nous avons besoin de techniques de preuve très différentes de celles qui existent actuellement. En tant que tel, une discussion sur les conséquences devrait raisonnablement inclure une tangente sur «Qu'est-ce que cela signifierait d'avoir des techniques de preuve aussi puissantes et nouvelles?

Pour une discussion relativement récente du sujet, il y a la 26e colonne NP-Completeness de David Johnson dans ACM Transactions on Algorithms from 2007 ( PDF ). Permettez-moi de paraphraser une partie de ce que David dit concernant la question de prouver l'existence de problèmes NPcoNP -complet et d'ajouter mes réflexions:

Actuellement, nous n'avons que des candidats «faibles» et naturels à l'adhésion à NPcoNPP dans le sens où la preuve la plus solide de leur appartenance est que nous n'avons pas encore réussi à leur trouver d'algorithme de temps polynomial. Il énumère quelques candidats: SMALL FACTOR, SIMPLE STOCHASTIC GAME et MEAN PAYOFF GAME. Une partie de la «bizarrerie» supplémentaire de ces problèmes provient des meilleurs temps d'exécution heuristiques pour les résoudre, par exemple, SMALL FACTOR, alias INTEGER FACTOR k , a une complexité temporelle aléatoire de poly(n)2klog(k) . (Si des problèmes complets existent dansNPcoNPP, alorscetemps d'exécutionsous-exponentiel(ni purement exponentiel, ni tout à fait polynomial) est-ilendémique de la classe?)

Donc , plus précisément, nous voulons prouver quelque chose comme: problème A est seulement P ssi NPcoNP=P , soit un résultat complet comme le théorème de Cook pour 3SAT et NP . Pour NP , ces preuves impliquent universellement des réductions du temps polynomial (et fixent vos restrictions supplémentaires préférées, par exemple les réductions Cook, les réductions Karp). Par conséquent, dans les techniques de réduction du temps polynomial, il doit y avoir une représentation reconnaissable du temps polynomial de la classe. Pour NP , nous pouvons utiliser des machines de Turing non déterministes qui s'arrêtent au sein d'un polynôme, p(|x|) , nombre d'étapes. Commesouligne David, nous avonsreprésentations similaires pourautres classes (où le statut est plus clair) tels quePSPACE et#P .

La difficulté, cependant, de fournir une représentation similaire pour NPcoNP est que l'analogue "naturel" nous permet d'intégrer le problème de l'arrêt dans la représentation et est donc indécidable . Autrement dit, considérons la tentative suivante de représenter NPcoNP avec deux machines de Turing non déterministes qui, prétendument, reconnaissent des langages complémentaires:

Question: Une machine de Turing M s'arrête-t-elle sur l'entrée x0,1n ?

Construisez deux machines de Turing à temps linéaire M1 et M2 comme suit. Sur l'entrée y , M1 lit l'entrée et accepte toujours. M2 rejette toujours sauf si |y||x|et M accepte x aux étapes |y|.

Par conséquent, M1 et M2 acceptent des langages complémentaires si M ne s'arrête pas à l'entrée x . Par conséquent, par contradiction, décider si deux machines de Turing à temps polynomial acceptent des langages complémentaires est indécidable.

Ainsi, la représentation "naturelle" des problèmes NPcoNP n'est pas reconnaissable en temps polynomial. La question demeure: comment représentez-vous les problèmes NPcoNP sorte qu'ils soient reconnaissables en temps polynomial?

Il n'y a eu aucun travail important fait sur cette question, mais sa résolution réussie est nécessaire de prouver l' exhaustivité dans NPcoNP . Par conséquent, je prétends que l'existence d'une technique de preuve qui peut résoudre l'intégralité de NPcoNP sera la plus grande histoire ici - et non les résultats "automatiques" de NPcoNP problèmes complets ( par exemple des classes de complexité, peut-être en train de s'effondrer) dont nous sommes déjà conscients (ou plutôt, nous le serons , hypothétiquement dans le futur).


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NPcoNPTFNP=F(NPcoNP)NPcoNP

Cela ne se traduit pas directement (de la façon dont je pense que vous le laissez entendre). Notez que le théorème ne se réfère pas seulement à N'IMPORTE QUEL problème complet, mais à un problème FNP-complet. Cela revient à dire "Il y a un problème NP-complet dans NP \ cap coNP ssi NP = coNP." Pour autant que je sache, il est concevable que NP \ cap coNP ait des problèmes complets qui sont distincts des problèmes NP-complets, sans effondrement du PH . (Link est pour le plaisir.;))
Daniel Apon

Remarque: Il est toujours considéré comme peu probable que la situation que j'ai décrite ci-dessus comme concevable soit le cas pour les mêmes raisons dans la réponse.
Daniel Apon
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