Est le complément de {www | …} Sans contexte?

Il est bien connu que le complément de est sans contexte. Mais qu'en est-il du complément de ?$\{ ww \mid w\in \Sigma^*\}$$\{ www \mid w\in \Sigma^*\}$

Toujours CFL je crois, avec une adaptation de la preuve classique. Voici un croquis.

Considérons $L = \{xyz : |x|=|y|=|z| \land (x \neq y \lor y \neq z)\}$ , qui est le complément de $\{www\}$ , avec les mots de longueur non $0$ mod $3$ supprimés.

Soit $L' = \{uv : |u| \equiv_3 |v| \equiv_3 0 \land u_{2|u|/3} \neq v_{|v|/3}\}$ . Clairement, $L'$ est CFL, puisque vous pouvez deviner une position $p$ et considérer que $u$ se termine $p/2$ après cela. Nous montrons que $L = L'$ .

• $L \subseteq L'$ : Soit$w = xyz \in L$ . Supposons qu'il existe un$p$ tel que$x_p \neq y_p$ . Écrivez ensuite$u$ pour les$3p/2$ premiers caractères p / 2 de$w$ et$v$ pour les autres. Naturellement,$u_{2|u|/3} = x_p$ . Maintenant qu'est-ce que$v_{|v|/3}$ ? Première:

Par conséquent, en $w$ , c'est la position:

Si $y_p \neq z_p$ , alors soit $u$ les 3 premiers${3\over2}(|w|/3 + p)$caractères de$w$, de sorte que$u_{2|u|/3}$est$y_p$; $v$est le reste de$w$. Alors:

• $L' \subseteq L$ : Nous inversons le processus précédent. Soit$w = uv \in L'$ . Écrivez$p = 2|u|/3$ . Alors: $$p+|w|/3 = 2|u|/3+|uv|/3 = |u| + |v|/3.$$ Ainsi$w_p = u_{2|u|/3} \neq v_{|v|/3} = w_{p + |w|/3}$ , et$w \in L$ (puisque si$w$ est de la forme$xxx$ , il doit contenir que$w_p = w_{p+|w|/3}$ pour tout$p$ ).

Voici la façon dont je pense à résoudre ce problème, avec un PDA. À mon avis, c'est intuitivement plus clair.

Un mot $x$ n'est pas de la forme $www$ ssi (i) $|x| \not\equiv 0$ (mod 3), ce qui est facile à vérifier, ou (ii) il existe un symbole d'entrée $a$ différent du symbole $b$ correspondant qui se produit $|w|$positions plus tard.

Nous utilisons l'astuce habituelle d'utiliser la pile pour maintenir un entier $t$ en ayant un nouveau symbole "bas de pile" $Z$ , stockant la valeur absolue $|t|$comme le nombre de compteurs sur la pile, et sgn ( $t$ ) par l'état du PDA. Ainsi, nous pouvons incrémenter ou décrémenter $t$ en effectuant l'opération appropriée.

Le but est d'utiliser le non-déterminisme pour deviner les positions des deux symboles que vous comparez et d'utiliser la pile pour enregistrer $t := |x|-3d$ , où $d$ est la distance entre ces deux symboles.

Nous accomplissons ceci comme suit: incrémentez $t$ pour chaque symbole vu jusqu'à ce que le premier symbole deviné $a$ soit choisi, et enregistrez $a$ dans l'état. Pour chaque symbole d'entrée suivant, jusqu'à ce que vous décidiez d'avoir vu $b$ , décrémentez $t$ de $2$ ( $1$ pour la longueur d'entrée et $-3$ pour la distance). Devinez la position du deuxième symbole $b$ et notez si $a \not= b$ . Continuez à incrémenter $t$ pour les symboles d'entrée suivants. Acceptez si $t = 0$ (détectable par $Z$ en haut) et$a \not= b$ .

La bonne chose à ce sujet est qu'il devrait être très clair comment étendre cela à des pouvoirs arbitraires.

Juste une perspective différente ("orientée grammaire") pour prouver que le complément de $\{ w^k \}$ est CF pour tout $k$ fixe utilisant des propriétés de fermeture.

Notons tout d'abord que dans le complément de $\{ w^k \}$ il y a toujours $i$ tel que $w_i \neq w_{i+1}$ . Nous nous concentrons sur $w_1 \neq w_2$ et commençons par une simple grammaire CF qui génère:

$L = \{\underbrace{a00...0}_{w_1} \; \underbrace{b00...0}_{w_2} ... \underbrace{000...0}_{w_k} \mid |w_i|=n \} = \{ a 0^{n-1} \, b 0^{n(k-1)-1} \}$

Par exemple pour $k = 3$ , nous avons $L = \{ a\,b\,0, a0\,b0\,00, a00\,b00\,000, ...\}$ ,$G_L = \{ S \to ab0 | aX00, X \to 0X00 | 0b0 \}$

Appliquer ensuite la fermeture sous homomorphisme inverse et l' union :

Premier homomorphisme: $\varphi(1) \to a, \varphi(0) \to b, \varphi(1)\to 0, \varphi(0) \to 0$

Deuxième homomorphisme: $\varphi'(0) \to a, \varphi'(1) \to b, \varphi'(1)\to 0, \varphi'(0) \to 0$

$L' = \varphi^{-1}(L) \cup \varphi'^{-1}(L)$ est toujours sans contexte

Appliquer la fermeture sous des décalages cycliques à $L'$ pour obtenir l'ensemble des chaînes de longueur $kn$ non de la forme $w^k$ :

$L'' = Shift(L') = \{ u \mid u \neq w^k \land |u| = kn \}$ .

Enfin, ajoutez l'ensemble régulier de chaînes dont la longueur n'est pas divisible par $k$ afin d'obtenir exactement le complément de $\{w^k\}$ :

$L'' \cup \{\{0,1\}^n\mid n \bmod k \neq 0\} = \{ u \mid u \neq w^k\}$