Probabilité qu'un réseau de tri aléatoire fonctionne

Étant donné $n$ entrées $x_0, \ldots, x_{n-1}$ , nous construisons un réseau de tri aléatoire avec $m$ portes en choisissant itérativement deux variables $x_i, x_j$ avec $i < j$ et en ajoutant une porte de comparaison qui les échange si $x_i > x_j$ .

Question 1 : Pour fixe $n$ , quelle taille doit être $m$ pour que le réseau trie correctement avec une probabilité $> \frac{1}{2}$ ?

Nous avons au moins la limite inférieure $m = \Omega(n^2 \log n)$ depuis une entrée qui est triée correctement sauf que chaque paire consécutive est échangé aura $\Theta(n^2 \log n^2)$ de temps pour chaque paire d'être choisi comme un comparateur . Est-ce aussi la limite supérieure, éventuellement avec plus de facteurs $\log n$ ?

Question 2 : Y a-t-il une distribution de portes de comparaison qui atteint , peut-être en choisissant des comparateurs proches avec une probabilité plus élevée? $m = \tilde{O}(n)$

sorting-network

— Geoffrey Irving
source

Je suppose que l'on peut obtenir une limite supérieure

en regardant une entrée à la fois, puis en limitant l'union, mais cela semble loin d'être serré.

O (n^{3} l o g^{O (1)})

$O(n^3log^{O(1)})$

— daniello

Idée pour la question 2: choisissez un réseau de tri de profondeur

. À chaque étape, choisissez au hasard l'une des portes du réseau de tri et effectuez cette comparaison. Après

étapes, toutes les portes de la première couche aura été appliquée. Après un autre

étapes, toutes les portes de la deuxième couche auront été appliquées. Si vous pouvez montrer que c'est monotone (l'insertion de comparaisons supplémentaires au milieu du réseau de tri ne peut pas nuire), vous aurez obtenu une solution avec

O (\log^{2} n)

$O(\log^2 n)$

\tilde{O} (n)

$\tilde{O}(n)$

\tilde{O} (n)

$\tilde{O}(n)$

\tilde{O} (n)

$\tilde{O}(n)$ comparateurs au total en moyenne. Je ne sais pas si la monoticité tient vraiment.

— DW

@DW: La monotonie ne tient pas nécessairement. Considérez les séquences

Séquence

travaux;

fait pas (considérez l'entrée (1, 0, 0)). L'idée est que

\begin{array}{rcl} s & = & (x_{1}, x_{2}), (x_{0}, x_{2}), (x_{0}, x_{1}); \\ s^{'} & = & (x_{1}, x_{2}), (x_{0}, x_{1}), (x_{0}, x_{2}), (x_{0}, x_{1}) . \end{array}

$\begin{eqnarray*} s &=&(x_1, x_2), (x_0, x_2), (x_0, x_1);\\ s'&=&(x_1, x_2), \mathbf{(x_0, x_1)}, (x_0, x_2), (x_0, x_1).\end{eqnarray*}$

s

$s$

s^{'}

$s'$

(x_{0}, x_{2}), (x_{0}, x_{1})

$(x_0, x_2), (x_0, x_1)$ sorts any input it receives except

(0, 1, 0)

$(0, 1, 0)$ (see here). In

s

$s$ , that input cannot reach

(x_{0}, x_{2}), (x_{0}, x_{1})

$(x_0, x_2), (x_0, x_1)$ . In

s^{'}

$s'$ it can.

— Neal Young

Considérons la variante où le réseau est choisi en choisissant deux variables adjacentes

au hasard à chaque étape. Maintenant, la monotonie tient (car les swaps adjacents ne créent pas d'inversions). Appliquez l'idée de @ DW à un réseau de tri pair-impair , qui a

tours: dans les tours impairs, il compare toutes les paires adjacentes où

est impair, dans les tours pairs, il compare toutes les paires adjacentes où

est pair. Whp le réseau aléatoire est correct dans les comparaisons

, car il "inclut" ce réseau. (Ou est-ce que je manque quelque chose?)

x_{i}, x_{i + 1}

$x_i, x_{i+1}$

n

$n$

i

$i$

i

$i$

O (n^{2} \log n)

$O(n^2\log n)$

— Neal Young

Monotonie des réseaux adjacents: étant donné

, pour

définissons

. Dites

(

a, b \in {0, 1}^{n}

$a, b\in\{0,1\}^n$

j \in {0, 1, \dots, n}

$j\in\{0,1,\ldots,n\}$

s_{j} (a) = \sum_{i = 1}^{j} a_{i}

$s_j(a) = \sum_{i=1}^j a_i$

a ⪯ b

$a\preceq b$

s_{j} (a) \leq s_{j} (b)

$s_j(a) \le s_j(b)$

\forall j

$\forall j$ ). Corrigez toute comparaison "

". Soit

viennent de

en faisant cette comparaison. Revendication 1. et . Revendication 2: si , alors . Ensuite, inductivement: si

est le résultat de la séquence de comparaison

sur l'entrée

x_{i} < x_{i + 1}

$x_i < x_{i+1}$

a^{'}

$a'$

b^{'}

$b'$

a

$a$

b

$b$ $a' \preceq a$ $b' \preceq b$ $a\preceq b$ $a' \preceq b'$

y

$y$

s

$s$

x

$x$ , and

y^{'}

$y'$ is the result of super-sequence

s^{'}

$s'$ of

s

$s$ on

x

$x$ , then

y^{'} ⪯ y

$y' \preceq y$ . So if

y

$y$ is sorted, so is

y^{'}

$y'$ .

— Neal Young

Here's some empirical data for question 2, based on D.W.'s idea applied to bitonic sort. For $n$ variables, choose $j - i = 2^k$ with probability proportional to $\lg n - k$ , then select $i$ uniformly at random to get a comparator $(i,j)$ . This matches the distribution of comparators in bitonic sort if $n$ is a power of 2, and approximates it otherwise.

For a given infinite sequence of gates pulled from this distribution, we can approximate the number of gates required to get a sorting network by sorting many random bit sequences. Here's that estimate for $n < 200$ taking the mean over $100$ gate sequences with $6400$ bit sequences used to approximate the count: It appears to match $\Theta(n \log^2 n)$ , the same complexity as bitonic sort. If so, we don't eat an extra $\log n$ factor due to the coupon collector problem of coming across each gate.

To emphasize: I'm using only $6400$ bit sequences to approximate the expected number of gates, not $2^n$ . The mean required gates does rise with that number: for $n = 199$ if I use $6400$ , $64000$ , and $640000$ sequences the estimates are $14270 \pm 1069$ , $14353 \pm 1013$ , and $14539 \pm 965$ . Thus, it's possible getting the last few sequences increases the asymptotic complexity, though intuitively it feels unlikely.

$n = 80$ $d = j-i$ $d \in [1,\frac{n}{2}]$ $\frac{\log n - \log d}{d}$ $\Theta(n \log^2 n)$ still looks plausible.

— Geoffrey Irving
source

Nice experiment! There's a different way the coupon collector issue could arise here, though: you're only sampling a small fraction of the

2^{n}

$2^n$ bit sequences needed to verify correctness on all inputs. It seems we can conclude (scientifically, not mathematically of course) from your experiment that a random network of this type and size sorts a random permutation whp. I'd also be curious to see exhaustive

2^{n}

$2^n$ testing on such random networks for all

n

$n$ up to which you're willing to go. (

n = 20

$n=20$ shouldn't be too bad, maybe even

n = 30

$n=30$ depending on what language & hardware you're using).

— Joshua Grochow

It looks the same for exact up to

n = 27

$n = 27$ , but I don’t view that as conclusive.

— Geoffrey Irving

@JoshuaGrochow: I've added exact values up to

n = 80

$n = 80$ .

— Geoffrey Irving

Nice! There does appear to be a growing spread to the exact data though, which perhaps indicates an upper bound with an extra factor of

\log n

$\log n$ ? (That is, if the "spread" is growing at a rate of

\log n

$\log n$ .)

— Joshua Grochow

Yeah, we can't rule out an extra factor. I'd be surprised if it was

\log n

$\log n$ , though, since up at 80 we have

\lg n \approx 6

$\lg n \approx 6$ and the constant is suspiciously close to

1

$1$ otherwise. At this point I think theory has to take over. :)

— Geoffrey Irving