Concernant les méthodes Pfaffiennes en comptage et combinatoire

Récemment, je passais en revue une introduction aux algorithmes holographiques. Je suis tombé sur des objets combinatoires appelés Pfaffians. Je ne connais pas vraiment grand-chose à ce sujet en ce moment et je suis tombé sur des utilisations surprenantes qui peuvent être utilisées.

Par exemple, j'ai appris qu'ils peuvent être utilisés pour compter efficacement le nombre de correspondances parfaites dans les graphiques planaires. En outre, ils peuvent être utilisés pour compter le nombre de pavages possibles d'un échiquier à l'aide de carreaux 2 * 1. La connexion en mosaïque m'a semblé très curieuse et j'ai essayé de rechercher des documents plus pertinents sur le Web, mais dans la plupart des endroits, je n'ai trouvé qu'une ou deux déclarations sur la connexion et rien d'autre.

Je voulais juste demander si quelqu'un pouvait suggérer une référence à la littérature pertinente car ce serait vraiment génial et j'ai hâte d'étudier certains documents connexes.

(C'est une question intéressante pour moi parce que je lis aussi sur le Pfaffian.)

Je suggère les références suivantes:

• Chapitre 8 du génial livre Matching Theory de Lovasz et Plummer.
• Le papier Division-Free Algorithms for the Determinant and the Pfa ffi an: Algebraic and Combinatorial Approaches by Rote. Cet article relie le Pfaffian à l'objet combinatoire appelé séquence de marche fermée alternée (aka. Séquence de clow alternée), qui nous donne un algorithme dynamique (sans division) pour calculer le Pfaffian.
• L'article Nonintersecting trajectoires, pfa ffi ans et partitions de plan de Stembridge, qui montre comment utiliser le Pfaffian pour énumérer les configurations en combinatoire. Le document donne également des preuves combinatoires des identités de base, par exemple,

  $A$$\mathsf{pf}(A)^2 = \mathsf{det}(A)$

Vous pourriez trouver cet article sur les circuits Pfaffian et les références qui s'y trouvent intéressant; J'ai voulu que ce soit une introduction autonome aux algorithmes holographiques ainsi que l'exploration de ce qui peut être fait avec les Pfaffians.

Cela aurait vraiment dû être un commentaire, mais pour le manque d'espace, je poste ceci comme réponse.

Merci pour les réponses et les commentaires de tout le monde. Récemment, je suis tombé sur une autre enquête de Robin Thomas. Vous pouvez le trouver ici http://people.math.gatech.edu/~thomas/PAP/pfafsurv.pdf .

En dehors de cela, j'ajouterais également une déclaration sur la connexion de carrelage (qui m'a été signalée par le professeur Dana Randall). Si vous prenez le double réseau, les tuiles domino 2x1 ne sont que des bords. Par conséquent, un carrelage parfait est précisément une correspondance parfaite dans le double. Ensuite, la théorie des Pfaffians peut être utilisée pour compter les correspondances parfaites dans les graphes planaires.

Cela signifie que vous pouvez simplement vous concentrer principalement sur le comptage des correspondances parfaites dans le graphique - le reste suit simplement trivialement.

Il y a aussi des travaux effectués par Charles Little, Fischer, McCuaig, Robertson, Seymour et Thomas, Loebl, Galluccio, Tesler, Miranda, Lucchesi, de Carvalho et Murty (ceux qui me viennent à l'esprit en ce moment.)