Exemple démontrant la puissance de circuits non déterministes

Un circuit booléen non déterministe possède, en plus des entrées ordinaires , un ensemble d'entrées "non déterministes" . Un circuit non déterministe accepte l'entrée s'il existe tel que la sortie du circuit sur . Analogue à (la classe de langues décidables par des circuits de taille polynomiale), peut être définie comme la classe de langues décidables par des circuits non déterministes de taille polynomiale. Il est largement admis que les circuits non déterministes sont plus puissants que les circuits déterministes, en particulier $x = (x_1,\dots,x_n)$ $y=(y_1,\dots,y_m)$ $C$ $x$ $y$ $1$ $(x,y)$ $P/poly$ $NP/poly$ $NP \subset P/poly$ impliquent que la hiérarchie polynomiale s'effondre.

Existe-t-il un exemple explicite (et inconditionnel) dans la littérature montrant que les circuits non déterministes sont plus puissants que les circuits déterministes?

En particulier, connaissez-vous une famille de fonctions calculable par des circuits non déterministes de taille , mais non calculable par des circuits déterministes de taille ? $\{f_n\}_{n > 0}$ $cn$ $(c+\epsilon)n$

cc.complexity-theory circuit-complexity nondeterminism

— Gustav Nordh
source

Je ne pense pas qu'une telle famille soit connue. Voici un article récent sur les circuits non déterministes: arxiv.org/abs/1504.06731 Je me souviens qu'avant de publier l'article Hiroki a posé une question similaire ici

— Alexander S. Kulikov

Merci. Je suppose que la question à laquelle vous vous référez est la suivante: cstheory.stackexchange.com/q/25736 qui est liée, mais demande des limites inférieures sur la complexité des circuits non déterministes.

— Gustav Nordh

Une propriété importante des circuits non déterministes est qu'ils peuvent toujours être transformés en circuits de profondeur 2 équivalents en ajoutant plus d'entrées non déterministes, en utilisant les mêmes idées que dans la réduction de CircuitSAT à SAT. En particulier, cela signifie que les circuits non déterministes de profondeur 2 peuvent calculer la parité de n bits de taille polynomiale, tandis que les circuits déterministes de profondeur 2 calculant la parité doivent être de taille 2 ^ n-1.

— Ou Meir

Bon point! En particulier par rapport au résultat d'Hiroki mentionné ci-dessus, la complexité de circuit non déterministe de la parité est 3 (n-1), ce qui est égal à la complexité de circuit déterministe de la parité.

— Gustav Nordh

Le cas des formules DeMorgan est similaire aux circuits de profondeur 2 mentionnés ci-dessus. Les formules DeMorgan non déterministes peuvent calculer la parité de n bits en taille linéaire, en utilisant les idées similaires aux circuits de profondeur 2, tandis que les formules DeMorgan déterministes ont besoin d'une taille quadratique selon le théorème de Khrapchenko.

— Hiroki Morizumi

Si ce problème n'a pas progressé, j'ai une réponse.

J'ai également pris en compte ce problème depuis mon article COCOON'15 (avant votre question).

Maintenant, j'ai une stratégie de preuve, et elle donne immédiatement le théorème suivant: Il y a une fonction booléenne telle que la complexité non déterministe circuit de est au plus et le circuit déterministe la complexité de est . $f$ $U_2$ $f$ $2n + o(n)$ $U_2$ $f$ $3n - o(n)$

Je m'excuse de ne pas avoir rédigé le document. Le croquis de preuve ci-dessous pourrait suffire à expliquer ma stratégie de preuve. Mon objectif est de rédiger l'article avec plus de résultats d'ici la date limite STACS (1er octobre).

[Croquis de preuve]

Soit . $f = \lor_{i=0}^{\sqrt{n}-1}{Parity_{\sqrt{n}}(x_{\sqrt{n} \cdot i + 1}, \ldots, x_{\sqrt{n} \cdot i + \sqrt{n}}})$

La preuve déterministe de la borne inférieure est basée sur une méthode d'élimination de porte standard avec une petite modification.

La preuve de borne supérieure non déterministe est une construction d'un tel circuit non déterministe.

Construire un circuit informatique . (Le nombre de portes est.) $Parity_{\sqrt{n}}$ $o(n)$
Construire un circuit en sélectionnant entrées de façon non déterministe. (Le nombre de portes est de.) $\sqrt{n}$ $2n + o(n)$
Combinez les deux circuits.

— Hiroki Morizumi
source

Quelque chose ne va pas avec les limites. La complexité non déterministe ne peut pas être plus grande que la complexité déterministe.

— Emil Jeřábek soutient Monica le

Merci pour votre réponse, exactement ce que je cherchais!

— Gustav Nordh