On me donne un graphique avec une largeur d' arbre k et un degré arbitraire, et je voudrais trouver un sous-graphique H de G (pas nécessairement un sous-graphique induit) tel que H ait un degré constant et sa largeur d'arbre soit aussi élevée que possible. Formellement, mon problème est le suivant: après avoir choisi un degré lié d ∈ N , quelle est la "meilleure" fonction f : N → N de telle sorte que, dans tout graphique G avec une largeur d'arbre k , je puisse trouver (espérons-le efficacement) un sous-graphique H de G avec degré maximal ≤ d et largeur d'arbre .
Évidemment, nous devrions prendre car il n'y a pas de graphiques à grande largeur d'arbre avec un degré maximal < 3 . Pour d = 3 je sais que vous pouvez prendre f telle que f ( k ) = Ω ( k une / 100 ) ou plus, en faisant appel à des Chekuri et Chuzhoy grille de résultat d'extraction de mineur(et en l'utilisant pour extraire un graphique de degré 3 à grande largeur d'arbre, par exemple, un mur, en tant que mineur topologique), avec le calcul du sous-graphique étant faisable (en RP). Cependant, il s'agit d'un résultat très puissant avec une preuve élaborée, il est donc mal de l'utiliser pour ce qui ressemble à un problème beaucoup plus simple: je voudrais juste trouver un sous-graphique à degré constant et à grande largeur d'arbre, pas un sous-graphique spécifique comme dans leur résultat. De plus, la limite de n'est pas aussi bonne que je l'aurais espéré. Bien sûr, il est connu qu'il peut être Ω ( k 1 / 20 ) (jusqu'à renoncer à l' efficacité du calcul), mais j'espérer quelque chose comme Ω ( k ). Alors, est-il possible de montrer que, étant donné un graphe de largeur d'arbre k , il y a un sous-graphe de G à degré constant et largeur d'arbre linéaire en k ?
Je suis également intéressé par la même question exacte pour la largeur de chemin plutôt que la largeur d'arbre. Pour la largeur de chemin, je ne connais pas d'extraction mineure analogique vers la grille, donc le problème semble encore plus mystérieux ...