Contre-exemple de la fonction Tardos à la revendication

Dans ce fil , la tentative de preuve Norbet Blum est succinctement réfutée en notant que la fonction Tardos est un contre-exemple du théorème 6. $P \neq NP$

Théorème 6 : Soit une fonction booléenne monotone. Supposons qu'il existe un approximateur CNF-DNF qui peut être utilisé pour prouver une borne inférieure pour . Alors peut également être utilisé pour prouver la même limite inférieure pour . $f \in \mathcal{B}_n$ $\mathcal{A}$ $C_m(f)$ $\mathcal{A}$ $C_{st}(f)$

Voici mon problème: la fonction Tardos n'est pas une fonction booléenne, alors comment satisfait-elle les hypothèses du théorème 6?

Dans cet article , ils discutent de la complexité de la fonction , qui n'est généralement pas une fonction booléenne monotone, car l'augmentation des bords peut rendre plus grand pour faire faux quand il était vrai avec moins de dans l'entrée. La fonction ne calcule pas en général sur $\varphi(X) \leq f(v)$ $\varphi(X)$ $\varphi(X) \leq f(v)$ $1$ $\varphi(X) \geq f(v)$ $1$ et sur . $T_1$ $0$ $T_0$

En fait, les ensembles de tests et sont choisis précisément pour que calculer sur et sur avec la monotonie signifie votre fonction dans le calcul précis de CLIQUE (ils définissent la frontière des et des dans le réseau d'entrées), donc ces remarques impliquent que la fonction Tardos est la même que CLIQUE, ce qui n'est clairement pas vrai. $T_1$ $T_0$ $1$ $T_1$ $0$ $T_0$ $1$ $0$

Pourtant, tant de gens - et de telles personnes bien informées - affirment que la fonction Tardos fournit un contre-exemple immédiat, donc il doit y avoir quelque chose qui me manque. Pourriez-vous s'il vous plaît fournir une explication détaillée ou une preuve pour ceux d'entre nous qui sont des parties intéressées mais pas tout à fait à votre niveau?

cc.complexity-theory np-hardness complexity-classes

— user144527
source

Une bonne source serait le livre de Jukna , p.272 (juste avant le théorème 9.28). Étant donné la fonction (non booléenne)

, considérons la fonction booléenne

qui est le seuil de

ϕ

$\phi$

f_{ϕ}

$f_\phi$

ϕ

$\phi$

Le résultat s'applique alors.

f_{ϕ} (G) = {\begin{cases} 1 & if ϕ (G) \geq \sqrt{n} \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_\phi(G) = \begin{cases} 1 & \text{if } \phi(G) \geq \sqrt{n}\\ 0&\text {otherwise}\end{cases}$

— Clement C.

Donc, pour être clair, vous me dites que

sera évalué à

sur des cliques de taille

f_{ϕ} (G)

$f_\phi(G)$

1

$1$

sur les graphes de

sommets induits par le bon

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

0

$0$

n

$n$

colorations?

⌊ \sqrt{n} - 1 ⌋

$\lfloor \sqrt{n}-1 \rfloor$

— user144527

Bien sûr, cela ne vaut pour aucun

. Mais la fonction

Tardos est basée sur une fonction graphique monotone

satisfaisant

. Ainsi, le seuillage

fait exactement ce que vous dites. Voir la fin de la section 9.8 ici .

ϕ

$\phi$

f_{ϕ}

$f_{\phi}$

ϕ

$\phi$

ω (G) \leq ϕ (G) \leq χ (G)

$\omega(G)\leq \phi(G)\leq \chi(G)$

f_{ϕ}

$f_{\phi}$

ϕ

$\phi$

— Stasys

Droite. En fait, je ne comprends pas pourquoi les gens votent contre votre question (éligible au vu de tout ce bruit autour de cette "preuve")? C'est maintenant l'auteur de ce tour de revendication P! = NP: expliquez pourquoi la "preuve" NE fonctionnera PAS pour la fonction de Tardos. Pointez sur la page X et la ou les lignes Y dans le document. Astuce: le bogue sera dans la limite supérieure du nombre d'erreurs introduites lors de l'approximation (les négations peuvent anéantir de nombreux termes précédemment "valides"). Sinon (pas d'explication) = pas de "preuve".

— Stasys

@Stasys, votre premier commentaire peut être une réponse.

— Kaveh

ces remarques impliquent donc que la fonction Tardos est la même que CLIQUE. $f$

Réponse courte - NON.

Ce n'est qu'un monotone "semblable à une clique": accepte tous les -cliques et rejette tous les graphes partiels complets . Il peut cependant accepter certains graphes rejetés par CLIQUE: graphes avec mais (graphes dits "non parfaits"). L' article de Grötschel, Lovász et Schrijver implique que a un circuit non monotone de taille polynomiale. Mais, selon le théorème 6 de la "preuve" , tout $k$ $(k-1)$ $G$ $\omega(G) < k$ $\chi(G)\geq k$ $f$ La fonction booléenne monotone de type clique nécessite des circuits non monotones de taille superpolynomiale. Donc, l'un de ces deux papiers doit être faux. Le document GLS-1981 représentait déjà> 35 ans ...

Ce que fait Tardos est le suivant. Elle part de la fonction graphique , où est la fameuse fonction thêta de Lovász. Le fait fondamental est que le nombre est pris en sandwich entre le nombre de clique et le nombre chromatique: . Elle utilise ensuite le fait que $\varphi(G):=\vartheta(\overline{G})$ $\vartheta$ $\varphi(G)$ $\omega(G)\leq \varphi(G)\leq \chi(G)$ $\vartheta(G)$ peut l'approcher en temps polynomial. Sur cette base, elle définit une fonction graphique $\phi(G)$

Valeurs de $\phi(G)$ $n$
$\phi$
$\omega(G)\leq \phi(G)\leq \chi(G)$ $G$

$f$ $f(G)=1$ $\phi(G)\geq k$ $f$ $f$ $k$ -cliques, and rejects all complete $(k-1)$ -partite graphs.

See here for technical details.

— Stasys
source

The GLS-1981 paper is here for free. This paper, in turn, is based on Khachiyan-1979 elipsoid paper. So, (at least) one of these three papers must be wrong?

— Tobias Müller

@Tobias: well, we are pretty sure that these two > 35 old papers are correct (so many times reproduced in lectures, somebody would already have observed an error). The problem with the current "proof" is that it is "by construction", not "by an argument" (as in the two mentioned papers). It is then dammed difficult to point to a specific place, where the "construction" fails. Especially when the "construction" is so imprecise. This is why I think it is now the DUTY of the author, not of us, to point to this place (where Tardos doesn't go through his construction.)

— Stasys