Aperçu de haut niveau de la méthode d'approximations de Razborov

Quelle est la méthode d'approximation de Razborov? Quelqu'un peut-il donner un aperçu de haut niveau et l'intuition derrière cela?

Soit une fonction booléenne sur n bits. Soit Z = f - 1 ( 0 ) ⊆ 2 n . Soit C circuit sur n bits et de taille m et portes g 1 , … , g m . g i désigne également la fonction sur n- bits calculée par sous-circuit avec g i comme dernière porte. Les n premières portes sont pour l'entrée x 1 , … , x $f$$n$$Z = f^{-1}(0) \subseteq 2^n$$C$$m$$g_1, \ldots, g_m$$g_i$$n$$g_i$$n$$x_1, \ldots, x_n$. Le but est de montrer que de taille m ne peut pas calculer f . Pensez à tous les calculs de C sur les entrées de Z . Un calcul attribue des valeurs aux sorties des portes. Soit B l'algèbre booléenne de P ( Z ) .$C$$m$$f$$C$$Z$$B$$P(Z)$

L'idée est de prendre en compte pour toute fonction sur n -bits la façon dont il se rapproche de f sur Z . Soit | | g | | = { w ∈ Z ∣ g ( w ) ≠ 0 } .$g$$n$$f$$Z$$||g|| = \{w \in Z \mid g(w) \neq 0 \}$

Pour un ultrafiltre on peut en définir un nouveau calcul par ultraproduit: c ( g i ) = 0 ssi | | g i | | ∉ F . Comme un ultrafiltre est essentiellement un ensemble de calculs cohérents pour les valeurs 0, le c résultant est un calcul valide. Il s'ensuit que f ( c 1 , … , c n ) = 0 . Nous avons créé un nouveau calcul à partir des calculs existants. Étant donné que tous les ultrafiltres sur les ensembles finis sont principaux $F \subseteq B$$c(g_i) = 0$$||g_i|| \not\in F$$c$$f(c_1, \ldots, c_n) = 0$ . Cela fonctionne pour n'importe quel circuit, nous n'avons pas exploité le fait que le circuit soit de taille m .$c_1,\ldots,c_n \in Z$$m$

L'idée suivante est maintenant d'exploiter la finitude du circuit pour construire une nouvelle entrée qui est en dehors de et f ( w ) ≠ 0 mais le circuit ne s'en aperçoit pas à cause de sa taille limitée et sort donc toujours 0. Donc il ne calcule pas f .$Z$$f(w) \neq 0$$f$

Nous avons besoin de se détendre la définition de ultrafiltre afin que nous puissions obtenir un extérieur d'entrée . Au lieu des ultrafiltres, nous utilisons des sous-ensembles fermés vers le haut de B ( a ∈ F et a ⊆ b implique b ∈ F ) qui préservent les rencontres ( a , b ∈ F implique a ∩ b ∈ F ).$Z$$B$$a \in F$$a \subseteq b$$b \in F$$a,b \in F$$a \cap b \in F$

Soit . W F est l'ensemble des entrées compatibles avec F . Si F est premier ( a ∪ b ∈ F implique a ∈ $W_F = \{w \in 2^n \mid w_i = 0 \to ||\lnot x_i|| \in F, w_i \neq 0 \to ||x_i|| \in F\}$$W_F$$F$$F$$a \cup b \in F$$a \in F$ou ) et non complet ( ∅ ∉ F ) alors pour chaque i , F contient soit | | x i | | ou | | ¬ x i | | et W F ne contient qu'une seule entrée.$b \in F$$\emptyset \not\in F$$i$$F$$||x_i||$$||\lnot x_i||$$W_F$

Nous allons détendre la conservation des rencontres. Au lieu de toutes les rencontres dans l'algèbre booléenne, nous en conserverons un petit nombre. Soit le plus petit nombre k de rencontre M = ( a 1 ∩ b 1 , ... , a k ∩ b k ) de telle sorte que pour tout fermé vers le haut, NonComplet, M en conserve des F , W F ⊆ Z .$|f|$$k$$M = (a_1 \cap b_1, \ldots, a_k \cap b_k)$$M$$F$$W_F \subseteq Z$

Soit la complexité du circuit de f . Razborov a prouvé que $m$$f$$\frac{1}{2}|f| \leq m \leq O(|f|^3 + n^3)$

$m$$m$$M$$F$$W_F$$Z$

$m$$m$$F$$W_F$$w_i \neq 0 \to ||x_i|| \in F$$F$

Alexander Razborov, Sur la méthode d'approximation, 1989. pdf

Mauricio Karchmer, On Proving Lower Bounds for Circuit Size, 1995.

Tim Gowers, méthode d'approximation de Razborov, 2009. pdf

Avertissement : Ceci n'est qu'un aperçu de haut niveau destiné à donner une certaine intuition aux méthodes utilisées dans le récent article de Blum.

Je vais essayer d'utiliser une notation plus proche de ce qui est utilisé dans l'article susmentionné.

$f$$n$$x_1,\dots,x_n$$f$

$\beta$$f$

1. $\beta$$g_1,g_2,\dots,g_m$
2. $t=1,\dots,m$$g_t$$f_{g_t}$$g_t$$g_m$

$g_m$$f_{g_m}$

$T\subseteq \{0,1\}^n$

Supposons que nous puissions prouver les affirmations suivantes:

• $e$$T$
• $f$$f_{g_m}$$f_{g_m}\neq f$$d$$T$

$\beta$$\tfrac{d\lvert T\rvert}{e}$

$\beta$$f$$f$