Ce polytope «d'emballage de sous-groupe» est-il intégral?

Soit un groupe abélien fini, et soit le polytope dans défini comme étant les points satisfaisant les inégalités suivantes: $\Gamma$ $P$ $\mathbb{R}^\Gamma$ $x$

\begin{array}{cl} \sum_{g \in G} x_{g} \leq | G | & \forall G \leq Γ \\ x_{g} \geq 0 & \forall g \in Γ \end{array}

$\begin{array}{cl} \sum_{g\in G} x_g \le |G| & \forall G \le \Gamma \\ x_g \ge 0 & \forall g \in \Gamma \end{array}$

où signifie que est un sous-groupe de . est-il intégral? Si oui, peut-on caractériser ses sommets? $G \le \Gamma$ $G$ $\Gamma$ $P$

Ma question s'est posée à l'origine avec , où quelques petits exemples ( ) suggèrent que la réponse est "oui" et "peut-être, mais ce n'est pas simple". J'ai aussi essayé le groupe cyclique sur 9 et 10 éléments, ainsi que , là où le polytope fait partie intégrante. Le polytope n'est pas intégral lorsque est l'un de , et , donc l'abélianité est apparemment essentielle. $\Gamma = \mathbb{F}_2^n$ $n = 2,3$ $\mathbb{F}_3^2$ $\Gamma$ $S_3$ $D_4$ $D_5$

Je dois mentionner que si vous écrivez le premier ensemble d'équations comme , alors n'est pas nécessairement totalement unimodulaire (ce qui impliquerait que le polytope est intégral). Lorsque , vous pouvez choisir trois linéairement indépendants et prendre les trois répartis sur chaque paire des éléments sélectionnés . La sous-matrice résultante est jusqu'à la permutation, et a donc un déterminant . $Ax \ge b$ $A$ $\Gamma = \mathbb{F}_2^3$ $g$ $G$ $g$

[\begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{bmatrix}$

\pm 2

$\pm 2$

Il est facile (si fastidieux) de caractériser les sommets des groupes d'ordre premier et d'observer qu'ils sont intégraux. Je suis presque sûr que cela peut être étendu aux groupes cycliques avec une puissance de premier ordre. Je ne sais pas ce qui se passe lors de la prise de produits.

Ce système n'est pas sans rappeler ceux qui définissent les polymatroïdes , mais plutôt qu'une fonction d'ensemble sous-modulaire, les contraintes sont une «fonction de sous-groupe» que je soupçonne d'être «sous-modulaire» une fois définie de la bonne façon. Pourtant, les techniques pour montrer que certains polymatroïdes sont intégraux pourraient fonctionner ici aussi, mais je ne vois pas comment.

$\Gamma = \mathbb{F}_2^n$ $\sum_g x_g$ $x_g = 1$ $g$ $x_g = 1 - \chi_S(g)$ $\chi_S$ $S$ $S$ $S$ $x_g = 0$

gr.group-theory fourier-analysis convex-geometry

— Andrew Morgan
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F_{2}^{n}

$\mathbb{F}_2^n$

x_{1000 \dots 0}

$x_{1000\dotsc 0}$

x_{e_{2}}

$x_{e_2}$

x

$x$

x

$x$

Oui, c'est une question très intéressante et curieuse. (Si cela ne vous dérange pas de partager) Y avait-il une motivation pour regarder ces polytopes particuliers? Ou juste quelque chose qui est tombé par hasard?

— John Machacek

F_{2}^{n}

$\mathbb{F}_2^n$

x_{i}

$x_i$

G

$G$

Andrew (le demandeur) et moi en avions discuté par e-mail, et nous avons montré que la conjecture était fausse. Le polytope n'est pas intégral pour les groupes abéliens, pas même pour les groupes cycliques.

Du côté positif.

$p^kq$ $p$ $q$ $k\in \mathbb{N}$

En effet, la famille de sous-groupes est une union de deux familles laminaires.

$2\times 3\times 5 =30$

$30$

$x_0=1/2$ $x_2=\frac{30}{2}-\frac{1}{2}=29/2$ $x_3=\frac{30}{3}-\frac{1}{2}=19/2$ $x_5=\frac{30}{5}-\frac{1}{2}=11/2$ $0$ $30$ $2,3$ $5$ $30$ $x$

$\mathbb{F}_2^n$ $n$ $\mathbb{F}_2^4$

— Chao Xu
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