Distribution d'une relation binaire dans des casiers de sorte que chaque élément se trouve dans un petit nombre de casiers

On nous donne des paires d'objets (disons des nombres). Chaque objet apparaît dans au plus paires. Notre objectif est de répartir les paires dans des bacs de taille égale, de sorte que chaque objet se trouve dans le moins de bacs différents possible. $q$

Plus précisément, nous nous intéressons à une fonction avec la propriété que pour chaque relation binaire avec paires avec au plus paires par objet, il y a une distribution des paires en cases, de telle sorte que chaque case reçoit paires ( doit diviser ), et aucun objet ne se trouve dans plus de cases. $f$ $m$ $q$ $p$ $m/p$ $p$ $m$ $f(m,q,p)$

Cette question est apparue dans nos recherches sur l'évaluation des requêtes parallèles. On pourrait s'attendre à ce que soit grand par rapport à . La "bonne" taille de est moins claire. Une taille intéressante pour pourrait être, par exemple, . Une fonction qui ne dépend pas de , mais qui ne fonctionne que pour une certaine plage de serait également utile (mais pas ). $m$ $p$ $q$ $q$ $\sqrt{\frac{m}{p}}$ $q$ $q$ $q=O(1)$

En fait, nous sommes après les bornes de la forme , avec aussi grand que possible ... $p^{1-\epsilon}$ $\epsilon>0$

combinatorics

— Thomas S
source

Dans la terminologie du graphe: étant donné un entier et un graphe avec arêtes, chaque sommet ayant un degré au plus , trouver sous-graphes où , tel que , et est une partition de en parties chacune de taille , et chaque sommet apparaît dans au plus des graphiques . Votre objectif est de minimiser . Quelle est la meilleure limite supérieure

p

$p$

G = (V, E)

$G=(V,E)$

m

$m$

q

$q$

p

$p$

G_{1}, G_{2}, \dots, G_{p}

$G_1, G_2, \ldots, G_p$

G_{i} = (V_{i}, E_{i})

$G_i=(V_i, E_i)$

V = ⋃_{i} V_{i}

$V=\bigcup_i V_i$

{E_{i}}_{i}

$\{E_i\}_i$

E

$E$

p

$p$

m / p

$m/p$

v \in V

$v\in V$

k

$k$

(max_{v} | {i : v \in V_{i}} | \leq k)

$(\max_v |\{i : v\in V_i\}| \le k)$

k

$k$

k

$k$ vous pouvez montrer donné , et ?

m

$m$

p

$p$

q

$q$

— Neal Young

C'est vrai. En termes de graphiques. La réponse à la question est: . En effet, comme écrit ci-dessus, nous nous intéressons aux bornes de la forme et n'avons pas de telles bornes pour .

p

$p$

p^{1 - ϵ}

$p^{1-\epsilon}$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

— Thomas S

Un cas spécial pour commencer: Soit un entier impair. Peut-on partitionner les arêtes du graphe complet en sous-ensembles de taille tels que, pour chaque sommet, le nombre de sous-ensembles contenant des arêtes incidentes à ce sommet est , pour certains ? Je parie que oui pour n'importe quel --- prendre sous-ensembles de sommets aléatoires de taille chacun. Ensuite, avec une forte probabilité, chaque sommet se trouve dans environ des sous-ensembles de sommets, et chaque paire est dans environ

n \geq 1

$n \ge 1$

(\binom{n}{2})

$n\choose 2$

K_{n}

$K_n$

n

$n$

(n - 1) / 2

$(n-1)/2$

O (n^{1 - ϵ})

$O(n^{1-\epsilon})$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

ϵ < 1 / 2

$\epsilon<1/2$

n

$n$

n^{1 - ϵ}

$n^{1-\epsilon}$

n^{1 - ϵ}

$n^{1-\epsilon}$

(i, j)

$(i,j)$

n^{1 - 2 ϵ}

$n^{1-2\epsilon}$ des sous-ensembles. Maintenant, affectez les paires aux sous-ensembles ...

— Neal Young

Dans ce cas, les nœuds peuvent d'abord être distribués dans des ensembles de taille (pensez aux intervalles). Ensuite, chaque bin obtient le produit de deux de ces ensembles (je considère le graphe orienté complet, qui est plus facile à énoncer et asymptotiquement pas très différent). Par conséquent, chaque sommet se trouve dans des casiers , c'est-à-dire dans ce cas.

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

I \times J

$I\times J$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

ϵ = \frac{1}{2}

$\epsilon=\frac{1}{2}$

— Thomas S

Pour le graphique en étoile ( arêtes incidentes à un sommet ), le sommet doit être dans chacun des sous-graphiques, donc dans ce cas, une borne inférieure à n'est pas possible. Je suppose que c'est pourquoi vous limitez le degré max ? Peut-être pourriez-vous dire quelque chose de plus définitif à ce sujet, car cela semble être une hypothèse cruciale. Pendant ce temps, j'ai laissé une observation (pas une réponse, mais trop grande pour tenir dans un commentaire!) Comme réponse ci-dessous.

n - 1

$n-1$

r

$r$

r

$r$

p

$p$

p

$p$

q

$q$

— Neal Young

Ce n'est pas une réponse. C'est juste l'observation quelque peu banale que WLOG vous pouvez assouplir l'exigence qu'il y ait exactement sous-ensembles de bords exactement de la même taille, et à la place, recherchez simplement n'importe quel nombre de sous-ensembles de bords de taille . Peut-être que cela aide à réfléchir au problème. $p$ $\{E_i\}_i$ $O(\textsf{the desired size})$

Fixez n'importe quel graphique et entier . Soit $G=(V,E)$ $p\ge 1$ $s=\lceil |E|/p\rceil$

Lemme. Supposons qu'il existe des sous-graphiques tels que partitionne en (n'importe quel nombre de) parties de taille . Soit être le nombre maximal de pièces dans lesquelles se trouve un sommet. $\{G'_j=(V'_j,E'_j)\}_j$ $\{E'_j\}_j$ $E$ $O(s)$

M = max_{v \in V} | {j : v \in V_{j}^{'}} |

$M = \max_{v\in V} |\{j : v\in V'_j\}|$

Ensuite, il y a sous-graphiques tels que partitionne en exactement parties chacune de taille au plus , et $p$ $\{G_i=(V_i,E_i)\}_i$ $\{E_i\}_i$ $E$ $p$ $s=\lceil |E|/p\rceil$

max_{v \in V} | {i : v \in V_{i}} | = O (M) .

$\max_{v\in V} |\{i : v\in V_i\}| = O(M).$

Preuve. En commençant par la séquence , remplacez chaque partie de la séquence par toute séquence ordonnée des arêtes contenues dans cette partie. Soit la séquence résultante (une permutation de telle que chaque partie est un "intervalle" d'arêtes dans la séquence). Maintenant, partitionnez cette séquence en sous-séquences contiguës telles que chacune, sauf la dernière, a la taille , et laissez contenir les arêtes dans la ème sous-séquence contiguë. (Donc $E'_1, E'_2, \ldots, E'_{p'}$ $E'_j$ $e_1, e_2, \ldots, e_m$ $E$ $E'_j$ $\{e_a, e_{a+1}, \ldots, e_b\}$ $p$ $s$ $E_i$ $i$ $E_i = \{e_{i\,s+1}, e_{i\,s+1}, \ldots, e_{(i+1)s}\}$ pour .) $i<p$

En supposant que chaque partie a une taille , et par conception chaque partie sauf la dernière partie a une taille , donc (en raison de la façon dont est défini) les bords de toute partie donnée sont divisés en parties dans . Ceci, et l'hypothèse que chaque sommet se produit dans au plus des parties dans , impliquent que chaque sommet se produit dans au plus des parties dans . QED $E'_j$ $O(s)$ $E_j$ $E_p$ $s$ $\{E_i\}_i$ $E'_j$ $O(1)$ $\{E_i\}_i$ $M$ $\{E'_j\}_j$ $O(M)$ $\{E_i\}_i$

— Neal Young
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