Adhésion monoïde de transition pour les DFA

Étant donné un DFA complet $A=(Q, \Gamma, \delta, F)$ , nous pouvons définir une collection de fonctions $f_a$ pour chacune $a\in \Gamma$ et avec $f_a:Q\rightarrow Q$ , $f_a(q)=\delta(q, a)$ . On peut généraliser cette notion à un mot $w=a_1, \cdots, a_m$ et $f_w=f_{a_1}\circ \cdots \circ f_{a_m}$ où$\circ$ désigne la composition de la fonction. De plus, nous notons$G=\{f_w\mid w\in \Gamma^*\}$ et$G$ est monoïde.

[ $G$ est généralement appelé transition monoïde dans le manuel standard, mais ici je reproduis la définition pour plus de clarté.]

La question est, étant donné une fonction $f:Q\rightarrow Q$ , peut-on décider $f\in G$ (idéalement en temps polynomial), et si tel est le cas (ie, il existe un $w$ tel que $f=f_w$ ), si $w$ est seulement polynomialement longue, ou peut-elle être exponentiellement longue?

[Je suppose qu'en effet un tel mot pourrait être exponentiellement long, mais je cherche un exemple simple.]

Décidabilité

$f:Q \to Q$$g \to h$$a \in \Gamma$$h = f_a \circ g$$g$$G$$g$$f_\epsilon$$Q$, bien que.

Longueur du mot

$p_1,\dots,p_k$$k$$(i,x)$$i \in \{1,\dots,k\}$$x_i \in \{0,1,\dots,p_i-1\}$$\Gamma=\{0\}$$\delta((i,x),0 = (i,x+1 \bmod p_i)$$f_0 :Q \to Q$

$$f_0(i,x) = (i,x+1 \bmod p_i).$$

Considérons maintenant la fonction donnée par$g:Q \to Q$

$$g(i,x) = (i,x-1 \bmod p_i).$$

Il est possible d'utiliser le théorème du reste chinois pour montrer que où , et que est le plus court de ces mots. Par ailleurs, , de sorte est grand , de manière exponentielle .$g = f_{0^n}$$n=p_1 \times p_2 \times \cdots \times p_k -1$$0^n$$|Q|= p_1 + \dots + p_k$$n$$Q$

Par conséquent, il n'y a aucun espoir pour un algorithme à temps polynomial qui produise un tel mot. Cela laisse cependant ouverte la possibilité d'un algorithme polynomial temporel pour décider si est dans , cependant.$g$$G$