Matrice explicite équilibrée

Est - il possible de construire un explicite matrix avec ceux de telle sorte que tous les sous - matrice contient moins de celles? $N \times N$ $0/1$ $N^{1.5}$ $N^{0.499} \times N^{0.499}$ $N^{0.501}$

Ou il est probablement possible de construire un ensemble de frappes explicites pour une telle propriété.

Il est facile de voir qu'une matrice aléatoire a cette propriété avec une probabilité exponentiellement proche de . De plus, un lemme de mélange d'expanseur n'est pas suffisant pour dériver cette propriété. $1$

J'imagine que des générateurs pseudo-aléatoires qui trompent les rectangles combinatoires pourraient aider ici, mais ils sont conçus pour des distributions uniformes et j'ai essentiellement besoin de ici. $B(N^2, N^{-0.5})$

— ilyaraz
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C'est une question intéressante: je suis curieux de connaître la motivation.

— Suresh Venkat

@Suresh Il provient de la non-extractibilité quantitative des informations mutuelles. Si vous êtes intéressé, je peux élaborer.

— ilyaraz

Je le suis vraiment. vous pouvez m'envoyer un e-mail (sureshv@gmail.com) si c'est plus simple de cette façon.

— Suresh Venkat

Réponses:

Ce que vous recherchez est un extracteur à un bit pour deux sources indépendantes: une fonction , de sorte que, à condition que X, Y soient des variables aléatoires avec une entropie min 0,499 * log (N), E (X, Y) est presque équilibré. $E:[N]\times [N]\to \{0,1\}$

C'est un problème difficile notoire. Pour les paramètres que tu veux, je crois que ça a été résolu par Bourgain. Voir ici: http://www.cs.washington.edu/homes/anuprao/pubs/bourgain.pdf

— Dana Moshkovitz
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Bourgain donne un biais

pour certains

. Je ne suis pas sûr que l'analyse peut donner

. Si j'étais vous, je l'étudierais et vérifierais. Vous pouvez également demander à Anup Rao, Zeev Dvir, Avi Wigderson ou à toute autre personne ayant travaillé sur ce problème.

p = N^{- α}

$p=N^{-\alpha}$

α > 0

$\alpha>0$

α = 1 / 2

$\alpha = 1/2$

— Dana Moshkovitz

@ilyaraz: Lorsque vous (ou n'importe qui) découvrez si la construction de Bourgain donne ou non la matrice souhaitée, veuillez partager (sauf si cela vous dérange)!

— Tsuyoshi Ito

cela a été un Q&A très intéressant. J'appuie la demande de Tsuyoshi.

— Suresh Venkat

En relisant la question et la réponse (il y a un certain temps ..), je pense que je n'ai pas remarqué que le questionneur n'en voulait que N ^ {1,5}, ce qui correspond à extraire un bit qui est 1 avec la probabilité N ^ {-0,5} plutôt qu'un bit équilibré. Néanmoins, je pense que la référence aux extracteurs à deux sources est utile. Je peux imaginer que des techniques similaires seraient utiles pour le réglage de la question.

— Dana Moshkovitz

1) Si un extracteur produit k bits presque uniformes, alors, en particulier, vous pouvez obtenir un bit égal à 1 avec une probabilité ~ 1/2/2 k. 2) C'est assez inutile, et cela me semble être une belle question de recherche pour trouver un moyen plus efficace de générer de tels bits.

— Dana Moshkovitz

Cette réponse est basée sur l'idée de Dana dans sa réponse ci-dessus.

Je pense que vous pouvez construire une telle matrice en utilisant des condenseurs à perte à deux sources. Fixez et dites . Supposons que vous avez une fonction explicite qui prend les deux sources aléatoires indépendantes , chacune de longueur et ayant min-entropie au moins et délivre en sortie une séquence de $\delta = 0.001$ $N=2^n$ $f(x,y)$ $(X, Y)$ $n$ $k = n(1/2 - \delta)$ $n' = n/2$ bits qui est -Fermer à une distribution d'entropie min avec au moins . Je pense que vous pouvez utiliser des arguments probabilistes standard pour montrer qu'une fonction aléatoire satisfait ces propriétés (avec une probabilité écrasante) si . L'argument probabiliste devrait être similaire à celui utilisé dans l'article suivant pour les condenseurs sans perte et les conducteurs plus généraux: $\epsilon$ $k'=n(1/2-3\delta)$ $2k > k'+\log(1/\epsilon)+O(1)$

M. Capalbo, O. Reingold, S. Vadhan, A. Wigderson. Conducteurs aléatoires et expansion à degré constant au-delà de la barrière de degré / 2

Dans notre cas, nous posons , donc nous sommes sûrs de l'existence de la fonction dont nous avons besoin. Maintenant, un argument de calcul de moyenne montre qu'il existe un bits chaîne de telle sorte que le nombre de avec est d' au moins . Supposons que vous connaissiez un tel et corrigez-le (vous pouvez choisir n'importe quel arbitraire $\epsilon = 2^{-k'}$ $n'$ $z$ $(x,y)$ $f(x,y)=z$ $2^{1.5 n}$ $z$ $z$ si vous savez en outre que votre fonction mappe la distribution entièrement uniforme sur une distribution qui est -close sur uniforme). Identifiez maintenant les entrées de votre matrice par les possibilités de et mettez à la position si . Par notre choix de , cette matrice a au moins $O(2^{-n/2})$ $N \times N$ $(x,y)$ $1$ $(x,y)$ $f(x,y)=z$ $z$ $2^{1.5n}$ ceux.

Maintenant, prenez n'importe quelle sous-matrice de et laissez des distributions uniformes sur les lignes et les colonnes choisies, respectivement. Par le choix de , on sait que est proche d'avoir une entropie min . Par conséquent, si nous choisissons une entrée uniformément aléatoire de la sous-matrice, la probabilité d'avoir un est au plus $2^k \times 2^k$ $X, Y$ $f$ $f(X,Y)$ $\epsilon$ $k'$ $1$ $2^{-k'}+\epsilon\leq 2^{-k'+1}$ . Cela signifie que vous avez au plus ceux dans la sous-matrice, comme vous le souhaitez. $2^{2k-k'+1} = O(2^{n/2 + \delta})$

Bien sûr, trouver un explicite avec les paramètres souhaités (en particulier, une longueur de sortie presque optimale) est une tâche très difficile et aucune fonction de ce type n'est connue à ce jour. $f$

— MCH
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