Des réductions entre langues de densités différentes?

La densité d'un langage est une fonction définie comme Supposons et sont des langues sur un alphabet fini, grand nombre-un logspace réduit à et ne sont pas dans . Les fonctions sont polynomiales s'il y a des polynômes et tels que pour tout , et $X$ $d_X \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$

d_{X} (n) = | {x \in X ∣ | x | \leq n} | .

$d_X(n) = |\{x\in X \mid |x| \le n\}|.$

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

B

$B$

L = DSPACE (\log n)

$\textsf{L} = \text{DSPACE}(\log n)$

f, g : N \to N

$f,g \colon\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

p

$p$

q

$q$

n \in N

$n\in \mathbb{N}$

f (n) \leq p (g (n))

$f(n) \le p(g(n))$

g (n) \leq q (f (n))

$g(n) \le q(f(n))$ .

Si la densité de n'est pas polynomialement liée à la densité de , peut-il y avoir une réduction de l'espace de log de à ? $A$ $B$ $B$ $A$

Contexte

J'espère que la réponse est non, mais je ne peux pas actuellement le montrer.

Il est clair que , si est alors il n'y a pas de réduction de logspace de à . Il y a donc quelques exemples pour lesquels il est possible de fournir une réponse négative définitive. $A$ $\mathsf{L}$ $B$ $A$

J'avais d'abord à l'esprit le cas où est un langage dur, et est obtenu en faisant des trous dans en prenant , pour un langage d'écart qui contient tous les mots de longueur pour un ensemble (voir Schmidt 1985 et aussi Regan et Vollmer 1997 ). Cela garantit une réduction triviale de à . Les langages d' ont généralement des écarts exponentiellement croissants entre les intervalles de tailles dans . Cela garantit que les densités de et $B$ $A$ $B$ $A = B\cap G$ $G$ $n \in S_G$ $S_G \subseteq \mathbb{N}$ $A$ $B$ $G$ $S_G$ $A$ $B$ ne sont pas polynomialement liés. Cependant, rien ne garantit que souffler des trous dans une langue donne toujours lieu à une langue qui a trop peu de structure pour être la cible d'une réduction de . (Le terme trous de soufflage vient de Downey et Fortnow 2003. ) La différence de densité pourrait être suffisante pour garantir cela, mais je ne vois pas immédiatement comment. $B$

Un autre exemple est quand est un mélange d'un langage dur et . Tout d' abord créer un langage gappy en croisant un langage avec un langage gap . ne contiendra alors que des instances de tailles qui se trouvent dans les intervalles de l'ensemble de tailles déterminant le langage d'intervalle. Maintenant , créez en mélangeant avec une langue inintelligible dans les lacunes, en prenant l'union de et l'intersection de avec le complément de . Si $B$ $A$ $A\not\in\mathsf{L}$ $C \not\in \textsf{L}$ $G$ $A$ $S_G$ $B$ $A$ $D$ $A$ $D$ $G$ $D$ est assez difficile par rapport à , comme étant -hard tandis que , alors par le théorème de la hiérarchie spatiale il ne peut y avoir aucune réduction de l'espace de log de à . Il semble donc possible d'étendre cela pour montrer qu'il n'y a pas de réduction de logspace de à . $C$ $D$ $\textsf{2EXPSPACE}$ $C \in \textsf{PSPACE} \setminus \textsf{L}$ $D$ $A$ $B$ $A$

Cela laisse toujours la situation où est plus difficile que mais «pas trop», par exemple, prenez pour être SAT et pour être STCON, ou pour être QBF-SAT et pour être SAT. Pour obtenir un résultat, il peut être nécessaire de supposer pour STCON / SAT ou pour SAT / QBF-SAT, mais ce n'est pas le cas comprendre immédiatement comment utiliser ces hypothèses. $D$ $C$ $D$ $C$ $D$ $C$ $\mathsf{L} \ne \mathsf{NP}$ $\mathsf{NP} \ne \mathsf{PSPACE}$

cc.complexity-theory reductions structural-complexity

— András Salamon
source

Qu'en est-il de est un langage de densité et compose de toutes les chaînes dont le dernier bit est 0, l'union de toutes les chaînes dont le dernier bit est 1 et les premiers bits est une chaîne en A?

A

$A$

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$

B

$B$

n - 1

$n-1$

— daniello

Je pense que le commentaire de daniello répond à la question. En général, les réductions à plusieurs vous en disent très peu sur la densité, même si vous avez des réductions à plusieurs dans les deux sens. Les réductions de 1-1 et les réductions de 1-1 dans les deux directions (ou encore plus, les isomorphismes p) donnent des relations entre la densité (à savoir la conjecture d'isomorphisme de Berman-Hartmanis motivant le théorème de Mahaney; en fait, je pense que l'isomorphisme BH peut avoir été le motivation principale pour regarder la densité du tout en premier lieu ...)

— Joshua Grochow

Soit tout langage qui n'est pas dans , tel que ait une densité , et définissons Ici est la concaténation. Le langage a une densité , qui est superpolynomiale dans . D'un autre côté, les espaces logarithmiques et réduisent l'un à l'autre ( à en concaténant , et à en réduisant toutes les chaînes se terminant par $A$ $L$ $A$ $2^{o(n)}$

B = {s \circ 1 | s \in {0, 1}^{*}} \cup {s \circ 0 | s \in A} .

$B = \{s \circ 1 | s \in \{0,1\}^*\} \cup \{s \circ 0 | s \in A\}.$

\circ

$\circ$

B

$B$

Ω (2^{n})

$\Omega(2^n)$

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

0

$0$

B

$B$

A

$A$

1

$1$ à la plus petite instance oui de A et en supprimant le dernier bit de toutes les chaînes se terminant par ). D'où également.

0

$0$

B \notin L

$B \notin L$

— daniello
source

Pour satisfaire l'exigence selon laquelle , doit être suffisamment dur dans cette construction. Il suffit de laisser être une version unaire de Halting qui a au plus une instance de chaque taille d'entrée.

B \notin L

$B \not\in \textsf{L}$

A

$A$

A

$A$

— András Salamon

@ András Salamon, merci de l'avoir signalé, a modifié la réponse pour capturer le commentaire.

— daniello