Théorème de Ramsey pour les collections d'ensembles

En explorant différentes techniques pour prouver les limites inférieures des algorithmes distribués, il m'est venu à l'esprit que la variante suivante du théorème de Ramsey pourrait avoir des applications - s'il se trouve que c'est vrai.

Les paramètres: $k$ , $K$ , $n$ sont donnés, puis $N$ est choisi pour être suffisamment grand. Terminologie: un sous-ensemble $m$ est un sous-ensemble de taille $m$ .

• Soit $A = \{1,2,...,N\}$ .
• Laissez - $B$ se composent de tous les $k$ -subsets de $A$ .
• Soit $C$ se composent de tous les $K$ -subsets de $B$ .
• Assigner une coloration $f\colon C \to \{0,1\}$ de $C$ .

Maintenant, le théorème de Ramsey (la version hypergraphe) dit que peu importe la façon dont nous choisissons $f$ , il existe un n-sous- ensemble monochromatique B ′ de B : tous les K-sous- ensembles de B ′ ont la même couleur.$n$$B'$$B$$K$$B'$

Je voudrais aller plus loin et trouver un $n$ ensemble monochromatique $A'$ de $A$ : si $B' \subset B$ est composé de tous les $k$ ensembles de $A'$ , alors tous les $K$ ensembles de $B'$ ont la même couleur.

Est-ce vrai ou faux? At-il un nom? Connaissez-vous des références?

S'il est faux pour des raisons triviales, existe-t-il une variante plus faible qui ressemble à cette affirmation?

Observé que la question n'est non triviale que lorsque k, K sont tous deux supérieurs à 1; pour le cas k = 1 ou K = 1, c'est juste le théorème de Ramsey normal, qui est vrai pour tout n. De plus, nous n'avons qu'à traiter le cas où > K, sinon le théorème est vrai puisqu'il y en a au plus un (${n \choose k}$ -sous-ensemble de B 'construit par un n-sous-ensemble A' de A.${n \choose k}$

Tout d'abord, nous prouvons que le théorème est faux pour tout k> 1, K> 1, et tout n satisfait > K>(n-${n \choose k}$.$({n-1 \atop k})$

Afin de construire un contre-exemple, pour tout grand N et A = [N], nous devons construire une fonction de coloration f telle que pour tout n-sous-ensemble A 'de A, si B' se compose de tous les k-sous-ensembles de A ' , certains des sous-ensembles K de B 'ont des couleurs différentes. Ici, nous avons l'observation suivante:

Observation 1. Dans les conditions où k, K> 1 et > K>(n-${n \choose k}$, tout sous-ensemble K de B est un sous-ensemble d'au plus un B 'construit par un n sous-ensemble A' de A.$({n-1 \atop k})$

L'observation peut être facilement ressentie en représentant des hypergraphes. Soit A les nœuds du graphe G, un n-sous-ensemble A 'de A est l'ensemble des nœuds d'un n-sous-graphe complet dans G. B' est l'ensemble des k-hyper-bords dans le sous-graphe complet (un 2-hyperedge est un bord normal), et les sous-ensembles K de B 'sont toutes les combinaisons (il y a au total, où | B '| = ($({|B'| \atop K})$ ) de K k-hyperedges. L'observation déclare: tout K-tuple d'hyper-arêtes dans G appartient à au plus un sous-graphe n complet, ce qui est évident pour (${n \choose k}$ > K>(n-${n \choose k}$, puisque deux n-sous-graphes complets se coupent au plus n-1 nœuds, avec au plus(n-$({n-1 \atop k})$hyperedges.$({n-1 \atop k})$

Ensuite, nous pouvons attribuer différentes couleurs au sein des K-sous-ensembles C 'd'un B particulier construit par un n-sous-ensemble A', car aucun élément de C 'ne se produira comme un autre K-sous-ensemble de B' 'construit par un n-sous-ensemble UNE''. Pour tout sous-ensemble K de B non construit par un sous-ensemble n de A, nous lui attribuons une couleur aléatoire. Maintenant, nous avons une fonction de coloration f, avec la propriété qu'aucun B 'construit par n-sous-ensemble de A n'est monochromatique, c'est-à-dire que certains des K-sous-ensembles de B' ont des couleurs différentes.

Ensuite, nous montrons que le théorème est également faux pour tout k> 1, K> 1, et tout n satisfait > K. Ici, la seule différence est que n peut être choisi si grand que K>(n-${n \choose k}$n'est pas vrai. Mais par une autre simple observation:$({n-1 \atop k})$

Observation 2. Si certains B 'construits par un n-sous-ensemble A' de A sont monochromatiques, alors chaque B '' construit par un n'-sous-ensemble A '' de A 'pour n' <n est également monochromatique.

On peut donc supposer que le théorème tient sur le plus grand n, appliquer la seconde observation et conclure une contradiction par le premier cas, en posant n 'satisfait > K>( n ′ -$({n' \atop k})$; un tel n 'doit exister par le fait que($({n'-1 \atop k})$> K et K>($({n \atop k})$, n 'doit se situer entre n et k + 1.$({k \atop k})$