Nombre de DFA minimaux de taille au plus


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Soit un alphabet de taille 2 , et considérons des DFA minimaux dont la taille est limitée par au plus m . Soit f ( m ) le nombre de différents DFA minimaux.Σ2mf(m)

Peut-on trouver une formule sous forme fermée pour ?f(m)

Considérant que pour la fonction de transition d'un DFA de taille au plus m est un graphe. Le degré des nœuds étant limité par 2 , il existe pour chaque nœud m 2 possibilités de paires d'arcs (comme suggéré dans les commentaires). Dans ce graphique, il y a au plus m choix possibles d'état initial et au plus 2 m choix possibles d'ensembles d'états finaux. Ainsi, le nombre maximum de DFA de taille au plus m est f ( m ) m 2 mm 2 m|Σ|=2m2m2m2mm .f(m)m2mm2m=2mm2m+1

On peut généraliser à un alphabet arbitraire : la borne devient f ( m ) 2 mm | Σ | m + 1 . Σf(m)2mm|Σ|m+1

Mais nous avons limité ici les DFA arbitraires et je suis intéressé à limiter le nombre de DFA minimaux. Ainsi, il semble que cette limite pourrait être plus serrée ... Quelqu'un a-t-il une meilleure estimation?

J'apprécierais si possible, quelques papiers liés à ce problème ou une preuve / contre-exemple.


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Je ne pense pas que votre limite supérieure soit correcte. Il semble que ce devrait être , plutôt que f ( m ) m × 2 m × 2 2 m . Pour chaque nœud, considérez les deux arcs sortant de ce nœud; il y a m possibilités pour où va le premier arc, et m possibilités pour où va le deuxième arc, donc m 2 possibilités au total. Il y a m nœuds, donc on obtient (f(m)m×2m×m2mf(m)m×2m×22mmmm2m possibilités pour l'ensemble d'arcs. La généralisation serait f ( m ) m × 2 m × m | Σ | m . (m2)m=m2mf(m)m×2m×m|Σ|m
DW

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Voici une référence qui peut être pertinente: "SUR LE NOMBRE DE LANGUES DISTINCTES ACCEPTÉES PAR FINITE AUTOMATA AVEC N ÉTATS" - citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.8.2838
Michael Wehar

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Merci à vous deux d'avoir corrigé mon erreur et de m'avoir donné cette référence qui est effectivement pertinente.
Luz

Réponses:


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Selon Ishigami Y., Tani S. (1993) The VC-dimensions of finite automata with n states, http://link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-57370-4_58 , the VC-dimension of la classe conceptuelle des DFA à états sur un alphabet de taille k est d = d ( n , k ) : = ( k - 1 + o ( 1 ) ) n log 2 n . Il s'ensuit qu'il existe au moins 2 d automates distincts à n états sur un knk

d=d(n,k):=(k1+o(1))nlog2n.
2dnkalphabet de lettres. La limite supérieure du nombre de ces automates découle d'un simple argument de comptage (donné dans l'article) et est au plus de .2d

m(|Σ|1+o(1))m m

Je pense que cela compte également des DFA minimaux, puisque la dimension VC est indépendante de la représentation, elle compte en fait des langages distincts - qui correspondent à des DFA minimaux.
Aryeh

(m1)!

(m1)!mm

En fait, si vous regardez la preuve de Thm. 3.2 dans l'article que j'ai lié, vous verrez cette expression exacte dans le dénominateur.
Aryeh

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(NB: la borne supérieure donnée dans la réponse acceptée est meilleure ou égale à celle donnée ici)

Une limite supérieure est proposée dans cet article donné dans l'un des commentaires précédents: « Sur le nombre de langues distinctes acceptées par les automates finis à n états » (2002, M. Domaratzki, D. Kisman, J. Shallit) .

Dans cet article:

  • f|Σ|(m)m|Σ|
  • g|Σ|(m)m|Σ|

g|Σ|(m) mm

68g|Σ|(m)2mm|Σ|m(m1)!2mm|Σ|m+1

f|Σ|(m)

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