Oui, il y a eu beaucoup de travail depuis l'article de Cheeseman, Kanefsky et Taylor de 1991.
La recherche d'examens des transitions de phase des problèmes NP-Complete vous donnera de nombreux résultats. Un tel examen est Hartmann et Weigt [1]. Pour une introduction de niveau supérieur, voir les articles de Brian Hayes American Scientist [2] [3].
L'article de Cheesemen, Kanefsky et Taylor de 1991 est un cas malheureux d'informaticiens qui ne prêtent pas attention à la littérature mathématique. Dans l'article de Cheeseman, Kanefsky et Taylor, ils ont identifié le cycle hamiltonien comme ayant une transition de phase avec une augmentation des coûts de recherche près du seuil critique. Le modèle de graphique aléatoire qu'ils ont utilisé était un graphique aléatoire d'Erdos-Renyi (probabilité de bord fixe ou distribution équivalente de degrés gaussiens). Ce cas a été bien étudié avant l'article de Cheeseman et all de 1991 avec des algorithmes de temps polynomiaux presque sûrs connus pour cette classe de graphique, même au seuil critique ou près de celui-ci. Les "Graphes aléatoires" [4] de Bollobas sont une bonne référence. La preuve originale, je crois, a été présentée par Angliun et Valiant [5] avec des améliorations supplémentaires par Bollobas, Fenner et Frieze [6]. Après Cheeseman,
La transition de phase pour les cycles hamiltoniens dans les graphiques aléatoires Erdos-Renyi aléatoires existe en ce sens qu'il y a une transition rapide de la probabilité de trouver une solution, mais cela ne se traduit pas par une augmentation de la complexité "intrinsèque" de la recherche de cycles hamiltoniens. Il existe des algorithmes de temps polynomiaux presque sûrs pour trouver des cycles hamiltoniens dans les graphes aléatoires d'Erdos-Renyi, même à la transition critique, à la fois en théorie et en pratique.
La propagation de l'enquête [8] a réussi à trouver des instances satisfaisantes pour le 3-SAT aléatoire très près du seuil critique. Mes connaissances actuelles sont un peu rouillées, donc je ne sais pas s'il y a eu de gros progrès dans la recherche d'algorithmes "efficaces" pour les cas non satisfaisants près du seuil critique. 3-SAT, pour autant que je sache, est l'un des cas où il est "facile" de résoudre s'il est satisfaisable et proche du seuil critique mais inconnu (ou difficile?) Dans le cas non satisfaisant près du seuil critique.
Mes connaissances sont un peu dépassées, mais la dernière fois que j'ai examiné ce sujet en profondeur, il y a eu quelques points qui m'ont frappé:
- Le cycle hamiltonien est "facile" pour les graphes aléatoires d'Erdos-Renyi. Où sont les problèmes difficiles pour cela?
- La partition numérique devrait être résoluble très loin dans la région de probabilité presque sûre 0 ou 1, mais aucun algorithme efficace (à ma connaissance) n'existe pour des tailles d'instance même modérées (1000 nombres de 500 bits chacun est, pour autant que je sache, complètement intraitable avec algorithmes de pointe). [9] [10]
- 3-SAT est "facile" pour les instances satisfaisables proches du seuil critique, même pour des tailles d'instances énormes (millions de variables) mais difficile pour les instances non satisfaisantes proches du seuil critique.
J'hésite à l'inclure ici car je n'en ai pas publié d'articles, mais j'ai rédigé ma thèsesur le sujet. L'idée principale est qu'une classe possible d'ensembles aléatoires (cycles hamiltoniens, problème de partition numérique, etc.) qui sont «intrinsèquement difficiles» sont ceux qui ont une propriété «d'invariance d'échelle». Les distributions stables de Levy sont l'une des distributions les plus naturelles avec cette qualité, ayant des queues de loi de puissance, et on peut choisir des instances aléatoires parmi des ensembles NP-Complete qui incorporent d'une manière ou d'une autre la distribution stable de Levy. J'ai donné quelques preuves faibles que des instances intrinsèquement difficiles du cycle hamiltonien peuvent être trouvées si des graphiques aléatoires sont choisis avec une distribution de degré stable à Levy au lieu d'une distribution normale (c'est-à-dire Erdos-Renyi). À tout le moins, cela vous donnera au moins un point de départ pour une revue de la littérature.
[1] AK Hartmann et M. Weigt. Transitions de phase dans les problèmes d'optimisation combinatoire: principes de base, algorithmes et mécanique statistique. Wiley-VCH, 2005.
[2] B. Hayes. Le problème difficile le plus simple. Scientifique américain, 90 (2), 2002.
[3] B. Hayes. Sur le seuil. Scientifique américain, 91 (1), 2003.
[4] B. Bollobás. Graphes aléatoires, deuxième édition. Cambridge University Press, New York, 2001.
[5] D. Angluin et LG Valiant. Algorithmes probabilistes rapides pour circuits et appariements de Hamilton. J. Computer, Syst. Sci., 18: 155-193, 1979.
[6] B. Bollobás, TI Fenner et AM Frieze. Un algorithme pour trouver des chemins et des cycles de Hamilton dans des graphiques aléatoires. Combinatorica, 7: 327–341, 1987.
[7] B. Vandegriend et J. Culberson. La transition de phase G n, m n'est pas difficile pour le problème du cycle hamiltonien. J. of AI Research, 9: 219–245, 1998.
[8] A. Braunstein, M. Mézard et R. Zecchina. Propagation de l'enquête: un algorithme de satisfiabilité. Random Structures and Algorithms, 27: 201–226, 2005.
[9] I. Gent et T. Walsh. Analyse de l'heuristique pour le partitionnement des nombres. Computational Intelligence, 14: 430–451, 1998.
[10] CP Schnorr et M. Euchner. Réduction de la base du réseau: algorithmes pratiques améliorés et résolution des problèmes de somme des sous-ensembles. Dans Proceedings of Fundamentals of Computation Theory '91, L. Budach, éd., Lecture Notes in Computer Science, volume 529, pages 68–85, 1991.