Pourquoi les informaticiens travaillent-ils globalement sous l'hypothèse que P ≠ NP?

Venant d'un arrière - plan mathématique, il me semble intéressant que dans l'ensemble les informaticiens ont tendance à travailler dans l'hypothèse que $P \neq NP$ . Bien qu'il n'y ait aucune preuve dans les deux cas, généralement, à moins que quelque chose ne puisse être spécifiquement prouvé en mathématiques et en sciences, il est pris avec une bonne quantité de force. Je pense qu'au cours des années et des années que les gens ont passé à essayer de réfuter $P = NP$ , le fait qu'aucune preuve n'ait encore été découverte conduirait au moins certains informaticiens à travailler dans les paramètres de visualisation de $P = NP$ comme peut-être vrai. Cependant, je vois souvent des gens travailler dans le cadre de ce qui n'est pas vrai et je me demandais pourquoi? Il semble plus prudent de supposer que $P = NP$ dans de nombreux domaines. J'ai lu d'innombrables articles sur combien d'informatique et de domaines adjacents à CS devraient changer beaucoup de leur méthodologie actuelle si $P = NP$ s'avérait vrai, alors pourquoi cela n'est-il pas supposé? Bien qu'il soit peu probable que cela soit prouvé de toute façon dans un avenir proche, il semble juste un peu étrange de s'appuyer si fortement sur une conjecture comme celle-là. Il semble presque primordial de supposer que la conjecture de Goldbach est invalide car il n'y a aucune preuve non plus.

p-vs-np

— Eli Sadoff
source

La conjecture de Goldbach n'est pas la bonne analogie. Pourquoi les théoriciens des nombres travaillent-ils sous l'hypothèse que l'hypothèse de Riemann est vraie?

— Peter Shor

Ce ne sont pas des opinions aléatoires basées uniquement sur le fait que personne n'a réfuté des choses; ce sont des opinions éclairées. Personne n'a réfuté l'existence d'un plan projectif d'ordre 12, mais presque tout le monde pense qu'il n'existe pas.

— Peter Shor

@AJ "si vous argumentez autrement, vous serez traité de fou" ... si vous aviez un argument intéressant , alors ce serait loin d'être fou, dans mon esprit. Ce serait extrêmement important. Dans plusieurs cas où les chercheurs ont supposé quelque chose de similaire à P = NP, nous avons pu dériver une contradiction. Par exemple, les compromis espace-temps pour SAT. (Remarque: la question en cours de discussion ne fait pas partie de l'argument intéressant. Elle affirme que P = NP est l'hypothèse la plus conservatrice, sans raison donnée.)

— Ryan Williams

D'une certaine manière, si nous supposons que P = NP, alors une grande partie du champ serait juste fermée. Plus de dureté d'approximation, de constructions explicites, de quelques crypto-primitives. Si c'était vrai, quelles autres questions intéressantes pourrions-nous poser?

— Igor Shinkar

Je ne pense pas qu'OP ait sérieusement fait ses devoirs sur cette question. Ceci est discuté dans de nombreux endroits. Voir par exemple rjlipton.wordpress.com/2009/09/18/… , scottaaronson.com/blog/?p=1720 , les liens que Domotor a donnés, n'importe quel livre sur la théorie de la complexité.

— Sasho Nikolov

Réponses:

En règle générale, pour tout problème non résolu, les gens ont tendance à conjecturer l'énoncé qui commence par un quantificateur universel - car s'il commençait par un quantificateur existentiel, alors on s'attendrait à trouver une solution. En dehors de cela, ce sujet a été discuté à plusieurs autres endroits, voir https://en.wikipedia.org/wiki/P_versus_NP_problem#Reasons_to_believe_P_.E2.89.A0_NP ou https://rjlipton.wordpress.com/conventional-wisdom -et-pnp / .

Mise à jour: Ou le très récent chapitre 3 ici: http://www.scottaaronson.com/papers/pnp.pdf

— domotorp
source

Autant j'aime cette réponse (et je l'aime beaucoup), je suis un peu inquiet: vous pouvez formuler l'énoncé

de plusieurs façons. Quelques exemples:

langues

nous avons

P = N P

$P = NP$

\forall

$\forall$

L

$L$

; OU

algorithme

s'exécute en poly-temps et

accepte

ssi

; OU

Langues NP-complètes

nous avons

; OU

langage NP-complet

. Certaines de ces déclarations commencent par existentielles et d'autres par des quantificateurs universels, donc nous ne pouvons clairement pas appliquer votre règle (le quantificateur universel implique probablement vrai) à toutes les déclarations.

L \in P ⟺ L \in N P

$L \in P \iff L \in NP$

\exists

$\exists$

A

$A$

A

$A$

A

$A$

w

$w$

w \in S A T

$w \in SAT$

\forall

$\forall$

L

$L$

L \in P

$L \in P$

\exists

$\exists$

L \in P

$L \in P$

— Mikhail Rudoy

@Mikhail: En effet! Je ne sais pas comment on pourrait formaliser quelle option choisir.

— domotorp

@MikhailRudoy: Vous devez faire attention à spécifier les quantificateurs du premier ordre par rapport au deuxième ordre. Lorsque vous dites "

langues

", c'est un quantificateur de second ordre, mais lorsque vous dites "

algorithme

", c'est un quantificateur de premier ordre. Ainsi, la formulation «

algorithme

» n'a aucun quantificateur de second ordre et est donc plus proche de la véritable «complexité logique» de l'énoncé «P = NP». En tant que phrase de premier ordre, cette version de "P = NP" commence en effet par un quantificateur existentiel. (Bien que cela ne résout pas complètement votre objection, cela résout vos exemples spécifiques.

\forall

$\forall$

L

$L$

\exists

$\exists$

A

$A$

\exists

$\exists$

A

$A$

Il existe de nombreuses exceptions. Avant que le groupe de monstres ne soit prouvé, c'était une conjecture qui a commencé avec un quantificateur existentiel. Et pour l'un des problèmes de Clay (celui de Yang-Mills), le résultat conjecturé commence par un quantificateur existentiel.

— Peter Shor

@MikhailRudoy: en.wikipedia.org/wiki/Second-order_logic

— Joshua Grochow

$P \neq NP$ $P \neq NP$ $P = NP$

$P = NP$ $P = BPP$ $P \neq NP$ $P = NP$

Consultez également le statut des mondes d'Impagliazzo?

Russel a donné une conférence à l'atelier IAS sur ses mondes en 2009 ( vidéo ).

— Kaveh
source

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En règle générale, pour tout problème non résolu, les gens ont tendance à conjecturer l'énoncé qui commence par un quantificateur universel - car s'il commençait par un quantificateur existentiel, alors on s'attendrait à ce qu'une solution soit trouvée.

$\Pi_1^0$ $\Pi_2^0$ $P \neq NP$ $P = NP$ $F(NP\cap coNP)$ $P \neq NP$

J'ai lu d'innombrables articles sur le nombre de domaines informatiques et adjacents à CS qui devraient changer beaucoup de leur méthodologie actuelle si P = NP s'avérait vrai, alors pourquoi cela n'est-il pas supposé?

$P=NP$ $P=NP$ $P \neq NP$

$f(n)=O(g(n))$ $f(n)\sim g(n)$ $\lim_{n\to\infty}\frac{f(n)}{g(n)}=1$ $f(n)\lesssim g(n)$ $\limsup_{n\to\infty}\frac{f(n)}{g(n)}\leq 1$ $f(n)=O(g(n))$ $f(n)\lesssim g(n)$

— Thomas Klimpel
source

L'une des justifications de la notation big-oh dans de nombreux modèles de machines uniformes est que les constantes ne sont pas robustes au modèle. Par exemple, voir le théorème d'accélération linéaire. (Et puis je pense que nous utilisons toujours big-oh dans les modèles non uniformes parce que nous les utilisons en fait pour essayer de comprendre les modèles uniformes ...)

— Joshua Grochow

@JoshuaGrochow Même si la notation big-oh peut inviter une mauvaise utilisation , je ne pense pas qu'elle ait besoin de beaucoup de justification. Il exprime souvent succinctement exactement ce que nous voulons dire. J'ai juste essayé de trouver des notations similaires pour les situations où nous pourrions être plus explicites. (Lorsque nous nous trouvons en référence à la preuve au lieu du théorème, alors c'est une situation typique où nous devrions probablement être plus explicites. Cela revient dans les explications sur la façon dont la logique constructive / intuitionniste peut être utile.)

— Thomas Klimpel