TSP euclidien en complexité NP et racine carrée

Dans cette note de cours d'Ola Svensson: http://theory.epfl.ch/osven/courses/Approx13/Notes/lecture4-5.pdf , il est dit que nous ne savons pas si le TSP euclidien est en NP:

La raison étant que nous ne savons pas calculer efficacement les racines carrées.

D'autre part, il y a cet article de Papadimitriou: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0304397577900123 disant qu'il est NP-complet, ce qui signifie également qu'il est en NP. Bien qu'il ne le prouve pas dans le journal, je pense qu'il considère l'appartenance à NP insignifiante, comme c'est généralement le cas avec de tels problèmes.

Je suis confus par cela. Honnêtement, l'affirmation selon laquelle nous ne savons pas si le TSP euclidien est en NP m'a choqué, car je pensais simplement que c'était trivial - en prenant le tour du TSP comme certificat, nous pouvons facilement vérifier qu'il s'agit d'un tour valide. Mais le problème est qu'il peut y avoir des racines carrées. Les notes de cours prétendent donc que nous ne pouvons pas résoudre en temps polynomial le problème suivant:

Étant donné le nombre rationnel , décider si $q_1,\ldots,q_n,A\in\mathbb{Q}$.$\sqrt{q_1}+\cdots+\sqrt{q_n}\leq A$

Question 1: Que savons-nous de ce problème?

Cela demande la simplification suivante, que je n'ai pas pu trouver:

Question 2: Est-ce réductible au cas particulier lorsque ? Ce cas spécial est-il résoluble en temps polynomial?$n=1$

En y réfléchissant un moment, j'y suis arrivé. Nous voulons une complexité temporelle polynomiale par rapport au nombre de bits de l'entrée, c'est-à-dire pas à la taille des nombres eux-mêmes. Nous pouvons facilement calculer la somme d'un nombre polynomial de chiffres décimaux. Pour obtenir un mauvais cas, nous avons besoin d'une instance de pour k = 1 , 2 , … telle que pour chaque polynôme p , il existe un entier k tel que $q_{1,k},\ldots,q_{n,k},A_k\in\mathbb{Q}$$k=1,2,\ldots$$p$$k$ etAks'accordent sur lesppremierschiffres(taille d'entrée)de l'expansion décimale.$\sqrt{q_{1,k}}+\cdots+\sqrt{q_{n,k}}$$A_k$$p(\text{input-size})$

Question 3: existe-t-il une telle instance de nombre de création?

Mais qu'est ? Cela dépend de la façon dont les nombres rationnels sont représentés! Maintenant, je suis curieux à ce sujet:$\text{input-size}$

Question 4: Is est algorithmiquement important si nombre rationnel sont données à titre rapport de deux nombres entiers (tels que ) ou dans le développement décimal (tels que 2,5334 ¯ 567 )? En d'autres termes, existe-t-il une famille de nombres rationnels tels que la taille de l'expansion décimale n'est pas polynomiale dans la taille de la représentation des rapports ou l'inverse?$24/13$$2.5334\overline{567}$

$n$$n$

$n=1$$q \le A^2$

$a_1, \ldots, a_k, b_1, \ldots, b_k$$1$$n$$| \sum_{i = 1}^k \sqrt{a_i} - \sum_{i = 1}^k \sqrt{b_i}| = O(n^{-2k + 3/2})$$\Omega(2k\log n)$$k$

Q4. Je pense que la représentation décimale pourrait être assez inefficace. La longueur de la période est l'ordre multiplicatif de 10 modulo le dénominateur, qui peut être exponentiel en nombre de bits du dénominateur.

Tu as écrit:

D'autre part, il y a cet article de Papadimitriou: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0304397577900123 disant qu'il est NP-complet, ce qui signifie également qu'il est en NP. Bien qu'il ne le prouve pas dans le journal, je pense qu'il considère l'appartenance à NP insignifiante, comme c'est généralement le cas avec de tels problèmes.

Pourquoi ne lisez-vous pas simplement le journal au lieu de publier de telles affirmations absurdes? À la page 239, Papadimitriou discute soigneusement de ces problèmes et définit la variante sous-jacente de la métrique euclidienne pour sa preuve.