Quel est le nom d'une fonction telle que ?

Soit un langage et une fonction sur deux paramètres avec la propriété que pour tout et , renvoie un élément de si et seulement si et sont des éléments de :f : Σ ⋆ × Σ ⋆ → Σ ⋆ x y f L x y $L$$f\colon {\Sigma^\star}\times\Sigma^\star\to\Sigma^\star$$x$$y$$f$$L$$x$$y$$L$

Question Ces fonctions ont-elles un nom dans la littérature?

Voici quelques observations amusantes. Ces fonctions, que j'appellerai " réductions conjonctives ", peuvent être construites pour les problèmes complets d'une variété de classes de complexité. Par exemple, pour , prenez la fonction . De façon analogue, nous pouvons considérer des « réductions disjonctives », de sorte que est une réduction disjonctive par rapport à . Ces deux réductions fonctionnent également très bien sur les formules booléennes quantifiées, donc elles fonctionnent également pour tous les niveaux de la hiérarchie polynomiale et pour PSPACE.f ( ψ , ϕ ) = ψ ∧ $L=SAT$$f(\psi, \phi)=\psi\wedge\phi$$g(\psi,\phi)=\psi\vee\phi$$SAT$

Il est facile de construire des réductions conjonctives et disjonctives pour les langues L et NL-DSTCON et USTCON complètes: étant donné deux graphiques, et deux paires de sommets, , construisez un nouveau graphe en prenant l'union disjointe , ajouter deux nœuds et ajouter des arêtes . Une réduction disjonctive met ces deux graphes en parallèle plutôt qu'en série.$G, H$$(u,v), (x,y)$$G\cup H$$s,t$$(s,u),(v,x),(y,t)$

Une réduction conjonctive existe pour l'isomorphisme graphique, mais aucune réduction disjonctive n'existe évidemment. Inversement, une réduction disjonctive existe pour le problème de l'automorphisme du graphique non trivial, mais je n'ai pas pu trouver de réduction conjonctive. Cela m'a surpris, car je pensais que ces problèmes étaient à un certain niveau les mêmes, puis j'avais appris quelque chose de nouveau sur l'isomorphisme des graphes!

En tant que dernière étape évidente, on peut considérer " réductions conjuguées ", des fonctions telles que . Trouver une telle réduction pour l'isomorphisme graphique montrerait qu'il est en coNP. Je n'ai pu trouver ni réduction conjonctive, ni disjonctive, ni réduction conjuguée pour la version décisionnelle de l'affacturage.$f(x)\in L \iff x \not\in L$

Ils sont généralement appelés fonctions ET. (Je ne plaisante pas.) En effet, ce concept a déjà été envisagé, et c'est ainsi que les gens les appellent. Voir, par exemple, le livre de Kobler, Schoning et Toran sur Graph Iso, où ils parlent des fonctions ET et OU pour l'IG. Et, soit dit en passant, il existe une fonction OR pour GI (ibid.).

La question d'une fonction ET pour l'automorphisme des graphes est, je crois, toujours ouverte :) (comme indiqué dans le livre ci-dessus).

Sur la base de votre dernier paragraphe, le type de réduction dont vous parlez peut également être généralisé à ce que l'on appelle des réductions "table de vérité" ou "tt". Il s'agit de réductions de Turing non adaptatives (les requêtes sont fixées par l'entrée, mais ne peuvent pas dépendre de la réponse aux requêtes précédentes). Par exemple, le type de réduction de négation dans votre dernier paragraphe est une réduction de 1 tt (1 = nombre de requêtes).