Existe-t-il un langage NP-complet qui contient précisément la moitié des instances de n bits?

Existe-t-il un langage NP (complet de préférence naturel) , tel que pour chaque détient? En d'autres termes, contient précisément la moitié de toutes les instances à bits. $L\subseteq \{0,1\}^*$ $n\geq 1$

| L \cap {0, 1}^{n} | = 2^{n - 1}

$|L\cap \{0,1\}^n|=2^{n-1}$

L

$L$

n

$n$

cc.complexity-theory np np-complete

— Andras Farago
source

Ce serait très surprenant s'il n'y en avait pas mais y penser pendant quelques minutes n'a pas pu trouver de construction.

— Kaveh

FWIW il y a un tel qui est NP-dur et en NP / POLY ...

L

$L$

— Neal Young

Pour un codage binaire bijectif

de formules CNF,

satisfaisable

insatisfaisant

devrait fonctionner.

e

$e$

{e (φ) 1 | φ

$\{e(\varphi)1\ |\ \varphi$

} \cup {e (φ) 0 | φ

$\} \cup \{e(\varphi)0\ |\ \varphi$

}

$\}$

— Klaus Draeger

@KlausDraeger L'insatisfaction n'est pas une propriété NP, sauf si NP = co-NP.

— Andras Farago

Existe-t-il un oracle

tel qu'il n'existe pas

avec cette propriété?

O

$O$

L \in {N P - C o m p l e t e}^{O}

$\mathcal{L}\in {\bf NP-Complete}^O$

— Erfan Khaniki

Réponses:

J'ai posé cette question il y a quelques années et Boaz Barak y a répondu positivement .

L'énoncé équivaut à l'existence d'un langage NP-complet où est calculable en temps polynomial. $L$ $|L_n|$

Considérez les formules booléennes et SAT. En utilisant un remplissage et en modifiant légèrement l'encodage des formules, nous pouvons nous assurer que et ont la même longueur. $\varphi$ $\lnot \varphi$

Laissez être un codage $\langle\ \rangle$

pour toutes les formules et pour toute affectation de vérité , . $\varphi$ $\tau \in \{0,1\}^{|\varphi|}$ $|\langle\varphi\rangle| = |\langle\varphi, \tau\rangle|$
est calculable en temps polynomial. $|\langle\varphi\rangle| \mapsto |\varphi|$
le nombre de formules de longueur codée est calculable en temps polynomial. $n$

Considérons

L := {⟨ φ ⟩ ∣ φ \in S A T} \cup {⟨ φ, τ ⟩ ∣ τ ⊨ φ and \exists σ < τ σ ⊨ φ}

$L := \{\langle\varphi\rangle \mid \varphi \in \mathsf{SAT} \} \cup \{\langle \varphi, \tau \rangle \mid \tau \vDash \varphi \text{ and } \exists \sigma<\tau\ \sigma\vDash\varphi \}$

Il est facile de voir que est NP-complet. $L$

Si , le nombre d'assignations de vérité satisfaisant est égal au nombre d'assignations de vérité satisfaisantes . En ajoutant lui-même, cela ajoute le nombre d'assignations de vérité satisfaisantes pour . $\varphi \in \mathsf{SAT}$

τ ⊨ φ and \exists σ < τ σ ⊨ φ

$\tau \vDash \varphi \text{ and } \exists \sigma<\tau\ \sigma\vDash\varphi$

- 1

$- 1$

φ

$\varphi$

φ

$\varphi$

$2^{|\varphi|}$ $\tau$ $\varphi$ $\lnot \varphi$ $\varphi$ $2(2^{|\varphi|}+1)$ $\langle\varphi\rangle$ $\langle\lnot \varphi\rangle$ $\langle\varphi, \tau\rangle$ $\langle \lnot\varphi, \tau\rangle$ $\tau \in \{0,1\}^{|\varphi|}$ $2^{|\varphi|}$ $2^{|\varphi|+1}+2$ $L$ $n$ $L$ $\varphi$ $n$ $2^{|\varphi|}$

— Ryan O'Donnell
source

Même s'il s'agit de la solution souhaitée, il s'agit d'une réponse distinctement liée uniquement aux liens.

— user2943160

pour être clair, il n'y a rien de spécial à propos de SAT, cela fonctionnerait avec n'importe quel prédicat de vérificateur pour un problème NP-complet.

— Kaveh

ϕ

$\phi$

\neg ϕ

$\lnot \phi$

τ

$\tau$

@Neal, que V (x, y) soit un vérificateur d'un problème NP-complet. Considérons W (x, b, y): = V (x, y) = b. Il est toujours NP-complet et chaque y est un témoin pour x, 0 ou x, 1. Pas aussi bien que SAT.

— Kaveh

A = {(ϕ, b, τ) : (τ satisfies ϕ) \leftrightarrow b = 1} ?

$A = \{(\phi, b, \tau) : (\tau \mbox{ satisfies } \phi) \leftrightarrow b=1\}?$

B = {(ϕ, b) : τ \in S A T \leftrightarrow b = 1}

$B = \{(\phi, b) : \tau \in SAT \leftrightarrow b = 1\}$

A \cup B

$A\cup B$

A

$A$

C = {(ϕ, b) : \exists τ . [(τ satisfies ϕ) \leftrightarrow b = 1]}

$C=\{(\phi, b) : \exists \tau.~[(\tau \mbox{ satisfies } \phi) \leftrightarrow b=1]\}$

Voici une suggestion de la raison pour laquelle il pourrait être difficile d'en trouver un exemple, même si je suis d'accord avec le commentaire de Kaveh selon lequel il serait surprenant que cela n'existe pas. [Pas une réponse, mais trop long pour un commentaire.]

$L$ $L^{=n} := |L \cap \{0,1\}^n| = 2^{n-1}$ $L \cap \{0,1\}^n$ $\{0,1\}^n \backslash L$ $\mathsf{NP}$ $f\colon \{0,1\}^* \to \{0,1\}^*$ $x \in L$ $f(x) \notin L$ $f$ $\mathsf{NP} = \mathsf{coNP}$ $f$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{coNP}$

$\mathsf{EXP}$ $\mathsf{coNP} \subseteq \mathsf{NTIME}(2^{(\log n)^{O(1)}}) =: \mathsf{NQP}$ $\mathsf{PH} \subseteq \mathsf{NQP}$ $\mathsf{PH} \subseteq \mathsf{NQP}$

$L$

Bien sûr, c'est aussi le genre de chose où quelqu'un viendra avec un exemple et nous verrons facilement comment cela contourne cette objection, mais je voulais juste jeter cela pour dire comment tout ce qui a une bijection assez simple peut 't work (sauf si les croyances largement répandues sont fausses).

$L$

— Joshua Grochow
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