Complexité de l'accessibilité dans les systèmes dynamiques linéaires sur des champs finis

Soit une matrice sur le corps fini et , vecteurs de l'espace . Je m'intéresse à la complexité informatique de décider s'il existe tel que , c'est-à-dire au problème d'accessibilité pour les systèmes dynamiques linéaires sur des champs finis.F 2 = { 0 , 1 } x y F n 2 t ∈ N A t x = $A$$\mathbb{F}_2 = \{0,1\}$$x$$y$$\mathbb{F}_2^n$$t \in \mathbb{N}$$A^t x = y$

Le problème est clairement dans (devinez et calculez en temps polynomial par quadrature répétée). Mes collègues et moi avons également pu prouver la du problème connexe consistant à établir s'il existe telle sorte que , où est une inégalité par composant. 0 ≤ t < 2 n A t N P t ∈ N A t x ≥ y $\mathbf{NP}$$0 \le t < 2^n$$A^t$$\mathbf{NP}$$t \in \mathbb{N}$$A^t x \ge y$$\ge$

Ce problème semble assez naturel, mais je n'ai pas pu trouver de références à sa complexité de calcul dans la littérature, probablement parce que je ne connais pas la terminologie exacte. Savez-vous si le problème avec l'égalité est -complet ou s'il est réellement dans ?$\mathbf{NP}$$\mathbf{P}$

Pour plus de clarté, je vais généraliser votre question pour qu'elle dépasse la caractéristique (avec le champ de base ) au lieu du cas spécifique de . Je prendrai et comme constantes fixes; Je laisse au lecteur le soin de déterminer quelle est la dépendance exacte de ces paramètres, car il y a des compromis à faire. Le résultat final ici est que votre problème est à peu près équivalent au problème de log discret pour les champs finis de caractéristique .F q p = q = 2 p q $p > 0$$\mathbb{F}_q$$p=q=2$$p$$q$$p$

Pour être plus précis, laissez le problème de journal discret ordinaire sur les extensions de être donné un champ d'extension de , et , trouver n'importe quel entier pour que , ou signaler qu'il n'en existe pas. Soit le problème de log discret fort sur les extensions de , étant donné comme précédemment, trouver les entiers sorte que pour un entier ssi , ou signaler qu'aucunF F q a,b∈ F ta= b t F q F ,a,bz,ma= b t$\mathbb{F}_q$$\mathbb{F}$$\mathbb{F}_q$$a,b \in \mathbb{F}$$t$$a = b^t$$\mathbb{F}_q$$\mathbb{F},a,b$$z,m$$a = b^t$$t$$t = z \pmod{m}$$t$existe. Ensuite, les réductions suivantes existent:

• Il existe une réduction de mappage déterministe de la journalisation discrète sur les extensions de à votre problème.$\mathbb{F}_q$

• Il existe un algorithme déterministe efficace qui résout votre problème lorsque vous avez accès à un oracle calculant le fort problème de journal discret sur les extensions de .$\mathbb{F}_q$

En conséquence, je considère qu'il est peu probable que quelqu'un publie une preuve de dureté ou une preuve que votre problème est dans dans un avenir proche.$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

Remarque: Le fort problème de journal discret sur les extensions de peut être réduit de Turing à la forme ostensiblement plus faible (bien qu'il semble toujours plus fort que le problème de journal discret ordinaire): étant donné un champ d'extension de , et , trouvez le plus petit entier non négatif sorte que . Cela découle du fait que l'ordre de est un plus le plus petit non négatif de sorte que .$\mathbb{F}_q$$\mathbb{F}$$\mathbb{F}_q$$a,b \in \mathbb{F}$$t$$a = b^t$$b$$t$$b^{-1} = b^t$

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Première réduction: l'affirmation est que le problème de journal discret ordinaire sur les extensions du mappage réduit à ce problème. Cela suit le fait que la multiplication dans est une transformation linéaire lorsque nous considérons comme un espace vectoriel à dimensions sur . Par conséquent, une question de la forme sur devient sur , où sont des vecteurs à dimensions, et est un$\mathbb{F}_{q}$$\mathbb{F}_{q^n}$$\mathbb{F}_{q^n}$$n$$\mathbb{F}_q$$a = b^t$$\mathbb{F}_{q^n}$$\vec{a} = B^t\vec{e}$$\mathbb{F}_q$$\vec{a},\vec{e}$$n$$B$$n\times n$matrice, partout . Le vecteur peut être facilement calculé à partir de , partir de , et n'est que la représentation de , qui peut être écrite efficacement . Cela semble toujours être un cas difficile du problème général du log discret, même avec (mais en augmentant , bien sûr). En particulier, les gens sont toujours en compétition pour voir dans quelle mesure ils peuvent le calculer.→ a aBb → e 1∈ F q n p=q=2$\mathbb{F}_q$$\vec{a}$$a$$B$$b$$\vec{e}$$1 \in \mathbb{F}_{q^n}$$p=q=2$$n$

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Deuxième réduction: l'affirmation est que votre problème se réduit au fort problème de journal discret sur les extensions de . Cette réduction a quelques morceaux, pardonnez donc la longueur. Soit l'entrée les vecteurs à dimensions et matrice , partout ; le but est de trouver pour que . nx,yn×nA F q ty= A t$\mathbb{F}_q$$n$$x,y$$n\times n$$A$$\mathbb{F}_q$$t$$y = A^tx$

L'idée de base est d'écrire en forme canonique de Jordanie (JCF), à partir de laquelle nous pouvons réduire les tests au problème de log discret fort avec une algèbre simple.y = A t$A$$y = A^tx$

Une raison d'utiliser une forme canonique sous similitude de matrices est que si , alors . Par conséquent, nous pouvons transformer en , où est maintenant dans un format beaucoup plus agréable que le arbitraire . Le JCF est une forme particulièrement simple, qui permet le reste de l'algorithme. Donc, à partir de maintenant, supposez que est déjà dans JCF, mais autorisez également que et puissent avoir des entrées dans un champ d'extension de .A t = P - 1 J t P y = A t x ( P y ) = J t ( P x ) J A A x , y , A F$A = P^{-1}JP$$A^t = P^{-1}J^tP$$y = A^tx$$(Py) = J^t(Px)$$J$$A$$A$$x,y,$$A$$\mathbb{F}_q$

Remarque: Il y a quelques subtilités qui découlent du travail avec le JCF. Plus précisément, je suppose que nous pouvons effectuer des opérations sur le terrain dans n'importe quelle extension de (quelle que soit sa taille) en un seul pas de temps, et que nous pouvons calculer le JCF efficacement. a priori , cela n'est pas réaliste, car travailler avec le JCF peut nécessiter de travailler dans un champ d'extension (le champ de division du polynôme caractéristique) de degré exponentiel. Cependant, avec un certain soin et en utilisant le fait que nous travaillons sur un champ fini, nous pouvons contourner ces problèmes. En particulier, nous associerons à chaque bloc Jordan un champ de degré au plus surF ′ n F q xy F ′ F ′ F$\mathbb{F}_q$$\mathbb{F}'$$n$$\mathbb{F}_q$ de sorte que toutes les entrées du bloc Jordan et les éléments correspondants de , vivent tous dans . Le champ peut différer d'un bloc à l'autre, mais l'utilisation de cette `` représentation mixte' 'permet une description efficace du JCF, qui d'ailleurs peut être trouvée efficacement. L'algorithme décrit dans le reste de cette section ne doit fonctionner qu'avec un bloc à la fois, donc tant qu'il effectue ses opérations sur le terrain dans le champ associé , l'algorithme sera efficace. [remarque finale]$x$$y$$\mathbb{F}'$$\mathbb{F}'$$\mathbb{F}'$

L'utilisation de JCF nous donne des équations de la forme suivante, chaque équation correspondant à un bloc de Jordan:

$$\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ \vdots \\ y_{k-1} \\ y_{k} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda & 1 & & & & \\ & \lambda & 1 & & & \\ & & \lambda & 1 & & \\ & & & \ddots & & \\ & & & & \lambda & 1 \\ & & & & & \lambda \\ \end{bmatrix}^t \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_{k-1} \\ x_{k} \\ \end{bmatrix}$$

L'algorithme traitera chaque bloc séparément. Dans le cas général, pour chaque bloc, nous aurons une requête pour notre oracle log discret fort, à partir duquel l'oracle nous indiquera une condition de modularité, . Nous obtiendrons également un ensemble sorte que doit contenir . Après avoir traité tous les blocs, nous devrons vérifier qu'il existe un choix de qui satisfait les conjonctions de toutes ces conditions. Cela peut être fait en s'assurant qu'il y a un élément commun dans tous les ensembles afin que les équations etS ⊆ { 0 , 1 , ⋯ , p - 1 } ⋁ s ∈ S [ t = $t = z \pmod{m}$$S \subseteq \{0,1,\cdots,p-1\}$ t s S t = $\bigvee_{s\in S}\left[ t = s \pmod{p} \right]$$t$$s$$S$t = z $t = s \pmod p$$t = z_j \pmod{m_j}$sont tous satisfaits simultanément, où s'étend sur les blocs.$j$

Il existe également des cas particuliers qui surviennent tout au long de la procédure. Dans ces cas, nous aurons des conditions de forme pour une valeur de , ou de la forme pour un entier spécifique , de certains blocs, ou on pourrait même trouver que personne ne peut exister . Ceux-ci peuvent être incorporés dans la logique du cas général sans problème.ℓ t = s s $t > \ell$$\ell$$t = s$$s$$t$

Nous décrivons maintenant la sous-procédure de gestion de chaque bloc Jordan. Réparez un tel bloc.

Commencez par vous concentrer uniquement sur la dernière coordonnée du bloc. La condition requiert que . En d'autres termes, c'est une instance du problème de journal discret dans une extension de champ de . Nous utilisons ensuite un oracle pour le résoudre, ce qui n'aboutit à aucune solution, ou bien donne une condition de modularité sur . Si "aucune solution" n'est renvoyée, nous renvoyons l'indication. Sinon, nous obtenons une condition , qui est équivalente à .y k = λ t x k F q t t = $y = A^tx$$y_k = \lambda^t x_k$$\mathbb{F}_q$$t$y k = λ t x $t = z \pmod{m}$$y_k = \lambda^t x_k$

Pour gérer les autres coordonnées, nous commençons par la formule suivante (voir, par exemple, ici ): xk=0yk=λtxkyk=0k-1xy(k-1)×(k-1)xk≠

$$\begin{bmatrix} \lambda & 1 & & & & \\ & \lambda & 1 & & & \\ & & \lambda & 1 & & \\ & & & \ddots & & \\ & & & & \lambda & 1 \\ & & & & & \lambda \\ \end{bmatrix}^t = \begin{bmatrix} \lambda^t & \binom{t}{1}\lambda^{t-1} & \binom{t}{2}\lambda^{t-2} & \cdots & \cdots & \binom{t}{k-1}\lambda^{t-k+1} \\ & \lambda^t & \binom{t}{1}\lambda^{t-1} & \cdots & \cdots & \binom{t}{k-2}\lambda^{t-k+2} \\ & & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots\\ & & & \ddots & \ddots & \vdots\\ & & & & \lambda^t & \binom{t}{1}\lambda^{t-1}\\ & & & & & \lambda^t \end{bmatrix}$$ \ ddots & \ ddots & \ vdots \\ & & & & \ lambda ^ t & \ binom {t} {1} \ lambda ^ {t-1} \\ & & & & & lambda ^ t \ end {bmatrix } Tout d'abord, prenons soin du cas où$x_k = 0$ . Puisque nous avons déjà la condition de modularité qui implique , nous pouvons supposer que aussi. Mais alors nous pouvons simplement nous concentrer sur les premières entrées de et , et la sous matrice en haut à gauche du bloc Jordan. Supposons donc désormais que .$y_k = \lambda^t x_k$$y_k = 0$$k-1$$x$$y$$(k-1)\times (k-1)$$x_k \ne 0$

Deuxièmement, nous traiterons le cas dans lequel . Dans ce cas, les pouvoirs du bloc de Jordan ont une forme spéciale, et forcent soit pour certains , soit , sans aucune autre condition. Je n'insisterai pas sur les cas, mais il suffit de dire que chacun peut être vérifié efficacement. (Alternativement, nous pourrions réduire au cas où est inversible; voir mon commentaire sur la question.)t = z z ≤ k t > k $\lambda = 0$$t = z$$z \le k$$t > k$$A$

Enfin, nous arrivons au cas général. Puisque nous avons déjà la condition de modularité qui implique que , nous pouvons supposer que cette condition est et utiliser comme remplaçant pour . Plus généralement, nous pouvons utiliser pour représenter . Nous devons donc vérifier si le système suivant est valable pour un choix de : $y_k = \lambda^t x_k$$y_k x_k^{-1}$$\lambda^t$$y_kx_k^{-1}\lambda^{-z}$$\lambda^{t-z}$$t$

$$\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ \vdots \\ y_{k-1} \\ y_{k} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_kx_k^{-1} & \binom{t}{1}y_kx_k^{-1}\lambda^{-1} & \binom{t}{2}y_kx_k^{-1}\lambda^{-2} & \cdots & \cdots & \binom{t}{k-1}y_kx_k^{-1}\lambda^{-(k-1)} \\ & y_kx_k^{-1} & \binom{t}{1}y_kx_k^{-1}\lambda^{-1} & \cdots & \cdots & \binom{t}{k-2}y_kx_k^{-1}\lambda^{-(k-2)} \\ & & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots\\ & & & \ddots & \ddots & \vdots\\ & & & & y_kx_k^{-1} & \binom{t}{1}y_kx_k^{-1}\lambda^{-1}\\ & & & & & y_kx_k^{-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_{k-1} \\ x_{k} \\ \end{bmatrix}$$ y_kx_k ^ {- 1} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \ vdots \\ x_ {k-1} \\ x_ {k} \\ \ end {bmatrix} Observez que le maintien de l'équation dépend uniquement de ; c'est parce que la dépendance de est seulement polynomiale, $t \pmod{p}$$t$$t$ doit être un entier, et les équations ci-dessus sont sur un champ de caractéristique . Par conséquent, nous pouvons simplement essayer chaque valeur de séparément. L'ensemble nous allons renvoyer n'est que les choix de pour lesquels le système est satisfait.$p$$t \in \{0,1,\ldots,p-1\}$$S$$t$

Alors maintenant, à l'exception de certains cas spéciaux, la sous-procédure par bloc a trouvé une condition de modularité , et un ensemble sorte que l'un des doit tenir pour certains . Ces conditions sont équivalentes à dans ce bloc Jordan spécifique. Nous les renvoyons donc de la sous-procédure. Les cas spéciaux concluent qu'aucun ne peut exister (auquel cas la sous-procédure renvoie immédiatement une indication de cela), ou bien nous avons une condition de modularité et une condition spéciale comme pour un entier , ou pour un entier$t = a \pmod{m}$$S$$t = s \pmod{p}$$s \in S$$y = A^tx$$t$$t = a \pmod{m}$$t = s$$s$$t > \ell$$\ell$ . Dans tous les cas, les conditions impliquées sont toutes équivalentes à dans ce bloc de Jordan. Ainsi, comme mentionné ci-dessus, la sous-procédure renvoie simplement ces conditions.$y = A^tx$

Ceci conclut la spécification de la sous-procédure par bloc et de l'algorithme dans son ensemble. Son exactitude et son efficacité découlent de la discussion précédente.

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Subtilités liées à l'utilisation du JCF dans la deuxième réduction: Comme mentionné dans la deuxième réduction, certaines subtilités découlent de la collaboration avec le JCF. Il existe quelques observations pour atténuer ces problèmes:

• Les extensions de champs finis sont normales . Cela signifie que si est un irréductible polynôme sur , toute extension de contenant une racine de contient toutes les racines de . En d'autres termes, le champ de division d'un polynôme irréductible de degré n'a que le degré sur .$P$$\mathbb{F}_q$$\mathbb{F}_q$$P$$P$$P$$d$$d$$\mathbb{F}_q$

• Il y a une généralisation de la forme canonique de Jordan, appelée la forme canonique rationnelle primaire (PRCF), qui ne nécessite pas d'écrire les extensions de champ. En particulier, si est une matrice avec des entrées dans , alors on peut écrire pour certaines matrices avec des entrées dans , où d'ailleurs est en PRCF. De plus, si nous prétendons que les entrées vivent dans un champ étendant qui contient toutes les valeurs propres de , alors$A$$\mathbb{F}_q$$A = P^{-1}QP$$P,Q$$\mathbb{F}_q$$Q$$A$$\mathbb{F}'$$\mathbb{F}_q$$A$$Q$sera en fait dans JCF. Ainsi, nous pouvons voir le calcul du JCF de comme un cas spécial de calcul du PRCF.$A$

• En utilisant la forme du PRCF, nous pouvons factoriser le calcul du JCF de comme$A$

  1. calcul du PRCF de sur$A$$\mathbb{F}_q$

  2. calculer le PRCF de chaque bloc (empruntant la notation de l'article Wikipedia) dans le PRCF de , sur un champ d'extension , où est choisi pour contenir toutes les valeurs propres de$C$$A$$\mathbb{F}'$$\mathbb{F}'$$C$

  Le principal avantage de cette factorisation est que les polynômes caractéristiques des blocs seront tous irréductibles , et donc, par notre première observation, nous pouvons choisir pour avoir un degré de la taille de (qui est au plus ) sur . L'inconvénient est que nous devons maintenant utiliser différents champs d'extension pour représenter chaque bloc du JCF, de sorte que la représentation est atypique et compliquée.$C$$\mathbb{F}'$$C$$n$$\mathbb{F}_q$

Ainsi, étant donné la capacité de calculer efficacement le PRCF, nous pouvons calculer efficacement un codage approprié du JCF, et ce codage est tel que le travail avec n'importe quel bloc particulier du JCF peut être fait dans un champ d'extension de degré au plus sur .$n$$\mathbb{F}_n$

Quant au calcul efficace du PRCF, l'article " A Rational Canonical Form Algorithm " (KR Matthews, Math. Bohemica 117 (1992) 315-324) donne un algorithme efficace pour calculer le PRCF lorsque la factorisation du polynôme caractéristique de est connue. . Pour une caractéristique fixe (comme celle que nous avons), la factorisation de polynômes univariés sur des champs finis peut être effectuée en temps polynomial déterministe (voir par exemple « Sur un nouvel algorithme de factorisation pour les polynômes sur des champs finis » (H. Niederreitter et R. Gottfert, Math. Of Calcul 64 (1995) 347-353).), De sorte que le PRCF peut être calculé efficacement.$A$