Langues irréductibles

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Ce n'est pas nécessairement une question de recherche. Juste une question par curiosité:

J'essaie de comprendre si l'on peut définir des langues "irréductibles". En premier lieu, j'appelle une langue L "réductible" si elle peut s'écrire $L = A \cdot B$ avec et , sinon appelez la langue "irréductible". Est-ce vrai: $A \cap B = \emptyset$ $|A|,|B|>1$

1) Si P est irréductible, A, B, C sont des langages tels que , et , alors il existe un langage tel que ? Cela correspondrait en nombres entiers au lemme d'Euklid et serait utile pour prouver l'unicité de la "factorisation". $A\cap B = \emptyset$ $P \cap C = \emptyset$ $A\cdot B = C\cdot P$ $B' \cap P = \emptyset$ $B = B'\cdot P$

2) Est-il vrai que chaque langue peut être factorisée en un nombre fini de langues irréductibles?

Si quelqu'un a une meilleure idée de la façon de définir un langage "irréductible", je voudrais l'entendre. (Ou y en a-t-il peut-être déjà une définition, que je ne connais pas?)

fl.formal-languages

— orgesleka
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"si elle peut être écrit sous la forme avec et ," où est ...

L = A \cdot B

$L = A \cdot B$

A \cap B = \emptyset

$A \cap B = \emptyset$

| A |, | B | > 1

$|A|,|B|>1$

\cdot

$\cdot$

1

\cdot

$\cdot$ est la concaténation

— orgesleka

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Vous pouvez être intéressé par le document "Prime Languages", bien qu'il s'agisse d'une notion différente: cs.huji.ac.il/~ornak/publications/mfcs13.pdf

— Denis

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Voici un contre-exemple à cela:

appeler une langue L "réductible" si elle peut s'écrire $L = A \cdot B$ avec $A \cap B = \emptyset$ et $|A|,|B|>1$ , sinon appelez le langage "irréductible". Est-ce vrai:

1) Si P est irréductible, A, B, C sont des langages tels que $A\cap B = \emptyset$ , $P \cap C = \emptyset$ et $A\cdot B = C\cdot P$ , alors il existe un langage $B' \cap P = \emptyset$ tel que $B = B'\cdot P$ ?

Dans l'alphabet unaire $\{0\}$ , définissez les mots suivants

une = 0^{4}, b = 0, c = 0^{3}, p = 0^{2} .

$a=0^4,\quad b=0,\qquad c=0^3,\quad p=0^2.$ Alors

a b = c p

$ab=cp$ et ce n'est pas le cas que

b = b^{'} p

$b=b'p$ pour tout

b^{'}

$b'$ .

Nous obtenons donc un contre-exemple avec les langues singleton

P = {p}, UNE = {une}, B = {b}, C = {c} .

$P=\{p\},\quad A=\{a\},\quad B=\{b\},\quad C=\{c\}.$

— Bjørn Kjos-Hanssen
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@bjornkjoshanssen: Merci pour votre exemple et votre réponse!

— orgesleka

@orgesleka Vous êtes les bienvenus ... Je suppose que la concaténation ressemble plus à l'addition qu'à la multiplication

— Bjørn Kjos-Hanssen

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Il y a la notion de primalité d'une langue. Il demande si L peut s'écrire comme où aucun facteur ne contient le mot vide. Une langue est primordiale si elle ne peut pas être écrite sous cette forme. $L_1 \cdot L_2$

Pour un langage régulier donné, représenté par un DFA, il est montré dans [MNS] qu'il est PSPACE-complet de décider de la primalité.

[MNS] Wim Martens, Matthias Niewerth et Thomas Schwentick, « Conception de schéma pour les référentiels XML: complexité et traçabilité », 2010. doi: 10.1145 / 1807085.1807117

— Thomas S
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Un autre papier à regarder:

Kai Salomaa, « Décompositions linguistiques, primauté et opérations basées sur la trajectoire », 2008.

— Jeffrey Shallit
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