S'effondre sous l'hypothèse que

Il est connu que si N P ⊆ P / P o l y alors la hiérarchie polynomiale se réduit à Σ P 2 et M A = A M .$NP\subseteq P/Poly$$\Sigma_2^{P}$$MA = AM$

Quels sont les effondrements les plus forts qui se produisent si N E X P ⊆ P / P o l y ?$NEXP\subseteq P/Poly$

Je crois que le plus fort est que N E X P = M A . Cela a été prouvé par Impagliazzo Kabanets et Wigderson.$NEXP = MA$

Voir https://scholar.google.com/scholar?cluster=17275091615053693892&hl=en&as_sdt=0,5&sciodt=0,5

Je serais également intéressé de connaître des effondrements plus forts que celui-ci.

Edit (8/24): OK, j'ai pensé à un effondrement potentiellement plus fort, qui découle essentiellement des épreuves du papier lié ci-dessus. Parce que N E X P ⊂ P / p o l y implique N E X P = E X P (voir le lien ci-dessus), et E X P est fermé sous complément, nous avons également N E X P fermé sous complément et donc N E X P = M A ∩ c o M $NEXP \subset P/poly$$NEXP = EXP$$EXP$$NEXP$$NEXP = MA \cap coMA$, ce qui est un peu plus fort. En effet, l'hypothèse implique que pour tout langage N E X P , une seule chaîne témoin w n peut être utilisée dans le protocole MA correspondant pour toutes les instances YES de n'importe quelle longueur n donnée , donc aussi N E X P = O M A ∩ c o O M A (où O M A = "Oblivious MA", voir Fortnow-Santhanam-me http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.156.3018&rep=rep1&type=pdf$NEXP$$w_n$$n$$NEXP = OMA \cap coOMA$$OMA$). Ces propriétés supplémentaires, bien que techniques, pourraient s'avérer utiles dans certains arguments de limite inférieure de circuit.

Edit 2: On dirait qu'Andrew Morgan l'a déjà souligné. Oups :)

Il se passe beaucoup de choses amusantes. La plupart de ceux que je connais commencent par le papier IKW . Là, l'effondrement $\textrm{NEXP} = \textrm{MA}$ est montré, et (je pense) est l'effondrement littéral le plus fort des classes de complexité que nous connaissons. Il existe cependant d'autres sortes de "fermetures" qui, à mon avis, devraient être signalées.

Le plus important, je pense, est la propriété du «témoin succinct universel» (également tirée de l'article d'IKW). D'une part, il vous donne un outil dont la plupart des autres effondrements sont des conséquences simples; d'autre part, les bornes inférieures du circuit récent (par exemple ici et ici ) pour $\textsf{NEXP}$ exploitent cette connexion. En bref, la propriété dit que, pour chaque $\textsf{NEXP}$ langue $L$ , et tout $\textsf{NEXP}$ -machine $M$ décider $L$ , chaque $x \in L$ a succinctement descriptible témoin selon $M$ . Formellement, il existe un polynôme $p$ selon$M$ pour que pour chaque $x \in L$ , il y ait un circuit $C_x$ de taille $p(|x|)$ sorte que la table de vérité de $C_x$ soit une suite de choix non déterministes pour $M$ qui conduisent à l'acceptation sur l'entrée $x$ .

La brièveté des témoins est très utile, car vous pouvez directement en déduire de nombreux autres effondrements. Par exemple, il s'ensuit trivialement que $\textsf{NEXP} = \textsf{coNEXP} = \textsf{EXP}$ . Par exemple, supposons que $L$ est $\textsf{NEXP}$ via un $\textsf{NEXP}$ -machine $M$ . La propriété témoin succinct indique qu'il existe un polynôme $p$ sorte que $M$ a des témoins succincts de taille $p$ . On peut alors décider $L$ dans $\textsf{EXP}$ en, sur l'entrée $x$ , en forçant brutalement tous les circuits de taille au plus $p(|x|)$, and checking whether they encode a sequence of choices that lead to $M$ accepting on input $x$. You can combine this with the (previously known via interactive proofs) result that $\textsf{EXP} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly} \implies \textsf{EXP} = \textsf{MA}$ to conclude $\textsf{NEXP} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly} \implies \textsf{NEXP} = \textsf{MA}$.

It's worth emphasizing that we get to pick $M$ and hence the form of the witnesses. For example, you can actually conclude from "$\textsf{NEXP}$ has universal succinct witnesses" that $\textsf{NEXP} = \textsf{OMA} = \textsf{co-OMA}$. Here $\textsf{OMA}$ is "oblivious-MA", meaning that there is an honest Merlin which depends only on the input length. It's easy to see that $\textsf{OMA} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly}$, so basically this is just giving a normal form for how $\textsf{NEXP}$ languages are computed in $\textsf{P}/\textrm{poly}$ under the assumption that $\textsf{NEXP} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly}$ in the first place. Here's one way to see the collapse to $\textsf{OMA}$:

For a language $L \in \mathsf{NEXP}$ decided by a machine $M$, construct a $\mathsf{NEXP}$ machine $M'$ as follows. View the $n$-bit input as a number $N$ between $1$ and $2^n$. For every $x$ of length $n$, guess a witness $w_x$ and run $M(x,w_x)$ to verify it. $M'(N)$ accepts if and only if $M$ accepts for at least $N$ values of $x$. The guesses are arranged such that a succinct description of a witness for $M'$ is a circuit $C$ which computes the map $(x,i) \mapsto$ the $i$-th bit of $w_x$. Now suppose that $N$ is precisely the number of strings in $L$ at length $n$. Then succinct witnesses for $M'$ on input $N$ are circuits that simultaneously encode all of $M$'s witnesses for length-$n$ inputs. In particular, if $M'$ has succinct witnesses, then all of $M$'s witnesses can be simultaneously described by the same circuit.

To complete the claim, we'll recall that $\textsf{NEXP} = \textsf{PCP}[\textrm{poly}, \textrm{poly}]$. Letting $M$ be the machine which guesses the PCP and then deterministically simulates the verifier, the above paragraph tells us the existence of simultaneously succinctly describable PCPs for every language in $\textsf{NEXP}$. So now to get $\textsf{NEXP} = \textsf{OMA}$, we have Merlin send the succinct description of the PCPs for all inputs of the current input length, which Arthur can check by just plugging in his input and then running the PCP verifier.

[Thanks to Cody Murray for pointing out the trick of using the input to count the number of strings in $L$. Previously I had $M'$ use that if $\mathsf{NEXP}\subseteq\mathsf{P/poly}$ then $\mathsf{NEXP}=\mathsf{EXP}$ to write down the truth table of $L$, but Cody's strategy is more elegant.]

As a final note, while technically implied by $\textsf{NEXP}=\textsf{MA}$, the collapse $\textsf{NEXP}=\textsf{PSPACE}$ has another interesting implication. It's known that $\textsf{PSPACE}$ has a complete language which is both downward self-reducible as well as random self-reducible. Ordinarily, all such languages sit inside $\textsf{PSPACE}$ and so we shouldn't hope to say (unconditionally) that $\textsf{NEXP}$ has such a complete language as long as we hope that $\textsf{NEXP} \ne \textsf{PSPACE}$. However, if $\textsf{NEXP} = \textsf{PSPACE}$, then $\textsf{NEXP}$ does have such complete languages. A similar statement (replacing $\textsf{NEXP}$ by $\textsf{EXP}$) was used by Impagliazzo and Wigderson to conclude a sort of "derandomization dichotomy" for $\textsf{BPP}$ in relation to $\textsf{EXP}$, so it may be useful in discovering other consequences of $\textsf{NEXP} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly}$.