Classes de graphiques avec cycle hamiltonien facile mais TSP NP-dur

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Le problème du cycle hamiltonien (HC) consiste à trouver un cycle passant par tous les sommets d'un graphe non orienté donné. Le problème des vendeurs ambulants (TSP) consiste à trouver un cycle qui passe par tous les sommets d'un graphique pondéré sur les bords et minimise la distance totale mesurée par la somme des poids des bords du cycle. HC est un cas particulier de TSP, et les deux sont connus pour être NP-complets [Garey & Johnson]. (Voir les liens ci-dessus pour plus de détails et des variantes de ces problèmes.)

Existe-t-il des classes de graphes étudiées sur lesquelles le problème du cycle hamiltonien peut être résolu en temps polynomial via un algorithme non trivial , mais le problème du voyageur de commerce est NP-difficile?

Il n'est pas trivial d'exclure des classes telles que la classe de graphiques complets, où un cycle hamiltonien est garanti d'exister et peut être trouvé facilement, ou généralement des classes de graphiques où un HC est toujours garanti d'exister.

— Standa Zivny
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Les diagrammes ne sont pas toujours hamiltoniens, ont des tests de temps polynomiaux pour Hamiltonicity et sont difficiles à résoudre pour le problème des vendeurs ambulants.

Plus généralement, le problème du cycle hamiltonien peut être résolu en temps polynomial (mais n'est pas traitable à paramètres fixes) sur des graphiques de largeur de clique bornée ; voir, par exemple, Fomin et al., "Clique-width: on the price of generality", SODA'09. Mais encore une fois parce que ces familles de graphiques incluent les graphiques complets, le TSP est dur avec ces graphiques.

— David Eppstein
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Je suis curieux de votre dernière déclaration. Est-ce parce que la tournée TSP identifierait efficacement les cliques en faisant en sorte que tous les sommets des cliques soient contigus dans la tournée?

— Suresh Venkat

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Non, je veux simplement dire que TSP est difficile, même dans un graphique complet, et les graphiques complets sont parmi les graphiques avec une largeur de clique limitée. Les graphiques complets eux-mêmes ne fournissent pas une bonne réponse à la question parce que l'hamiltonicité est triviale pour eux, mais les superclasses des cliques (telles que les cographies) peuvent avoir des tests d'hamiltonicité non triviaux mais polynomiaux.

— David Eppstein

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Que diriez - vous des graphiques complets ? Étant donné que TSP peut toujours être réduit à une instance sur des graphiques complets (en ajoutant des distances appropriées entre les non-arêtes), il est toujours difficile de résoudre le TSP sur des graphiques complets. Mais tout graphique complet est hamiltonien.

— Hsien-Chih Chang 張顯之
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Oui, bien sûr, merci! J'ai oublié d'exclure les graphiques complets, et d'ailleurs toutes les classes de graphiques où HC est résoluble trivialement.

— Standa Zivny

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@Standa Zivny: Je ne sais pas si vous allez modifier la question ou non, mais si vous voulez exclure «toutes les classes de graphiques où HC est résoluble trivialement», vous devez modifier la question. Cependant, je doute qu'il soit possible de faire la distinction entre le cas où HC peut être résolu «facilement» et le cas où HC peut être résolu «trivialement».

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi Ito: Un bon point, j'ai édité la question.

— Standa Zivny

@StandaZivny - Tous les graphiques triviaux pour HC ne sont pas difficiles pour TSP, par exemple les graphiques de chemin.

— RB

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Il existe de nombreuses classes infinies de graphes connus pour avoir des circuits hamiltoniens. Deux classes particulièrement intéressantes sont les n-cubes et les graphes Halin. Une façon de penser les graphes de Halin est d'incorporer un arbre avec au moins 3 sommets et qui n'a pas de sommets de valence deux dans le plan, puis de passer un circuit simple à travers les sommets 1-valent de l'arbre.

http://en.wikipedia.org/wiki/Halin_graph

Ces graphiques sont connus pour avoir un HC et en fait ils sont soit pancycliques (circuits de toutes longueurs) ou manquent exactement d'une longueur de circuit qui doit être de longueur paire.

— Joseph Malkevitch
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