Quelle est la complexité de distinguer un vrai spectre de Fourier d'un faux?

Une machine $PH$ accès oracle à une fonction booléenne aléatoire $f:\{0,1\}^n \to \{ -1,1 \}$ , et deux spectres de Fourier $g$ et $h$ .

Le spectre de Fourier d'une fonction $f$ est défini comme $F:\{0,1\}^n \to R$ :

$F(s)=\sum_{x\in\{0,1\}^n} (-1)^\left( s\cdot x \mod\ 2 \right) f(x)$

L'un de ou est le véritable spectre de Fourier de et l'autre n'est qu'un faux spectre de Fourier appartenant à une fonction booléenne aléatoire inconnue. $g$ $h$ $f$

Il n'est pas difficile de montrer qu'une machine ne peut même pas approcher pour n'importe quel . $PH$ $F(s)$ $s$

Quelle est la complexité de la requête pour décider avec une probabilité de réussite élevée laquelle est la vraie?

C'est intéressant pour moi, car si ce problème n'est pas en , alors on peut montrer qu'il existe un oracle par rapport auquel n'est pas un sous-ensemble de . $PH$ $BQP$ $PH$

— Mirmojtaba Gharibi
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@Mirmojtaba: Bien que je connaisse le problème et la motivation, ce serait bien si vous pouviez modifier votre question et définir "Spectres de Fourier" et expliquer la motivation des lecteurs qui ne connaissent pas ce problème (ou tout simplement la terminologie que vous avez utilisée). Vous obtiendrez peut-être plus de réponses de cette façon. En outre, il est généralement préférable de modifier la question pour ajouter des commentaires supplémentaires, au lieu de les publier dans le fil des commentaires. (Pour que les lecteurs n'aient qu'à lire votre question et non les commentaires.)

— Robin Kothari

J'ai peut-être mal compris le problème, mais il semble que ce problème soit trop difficile. Si g et h sont très proches (disons qu'ils ne diffèrent que sur 1 bit), comment une machine BQP décide-t-elle laquelle est le bon spectre de Fourier de f? La limite inférieure du problème de recherche ne devrait-elle pas impliquer que cela est difficile pour les ordinateurs quantiques?

— Robin Kothari

J'ai une question plus fondamentale. étant donné une fonction arbitraire, est-il facile de dire s'il s'agit bien du spectre de Fourier d'une fonction booléenne?

— Suresh Venkat

en passant, puisqu'il a attendu deux jours avant le crossposting, et cela aussi après avoir reçu aucune réponse ici, je pense que c'est parfaitement bien de le faire. Voir aussi la résolution atteinte ici: meta.cstheory.stackexchange.com/questions/673/…

— Suresh Venkat

Qu'est-ce qu'une machine PH? En fait, cela ne semble pas pertinent si vous n'êtes intéressé que par la complexité des requêtes, non? Dans ce cas, le problème semble se résumer à un simple problème d'algèbre linéaire, ce qui donne probablement une complexité de requête exponentielle.

— domotorp

Réponses:

Désolé, je suis en retard - c'est une merveilleuse question! Comme d'autres l'ont déjà souligné, c'est exactement pourquoi j'ai posé la question dans mon article BQP vs. PH , et pourquoi j'ai passé 4 ou 5 mois à travailler dessus sans succès en 2008. Une façon de répondre à la question aurait été de prouver une déclaration beaucoup plus générale que j'ai appelée la "Conjecture généralisée Linial-Nisan" --- mais malheureusement, cette conjecture s'est avérée fausse , au moins pour les circuits de profondeur 3 et plus. (Je pense toujours que c'est probablement vrai pour les circuits de profondeur 2, ce qui entraînerait au moins une séparation d'oracle entre BQP et AM.) Pour des idées plus récentes (les dernières, pour autant que je sache) vers une séparation d'oracle entre BQP et PH, voir le joli papier de suivi de Fefferman, Shaltiel, Umans,

— Scott Aaronson
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l'énoncé ci-dessus de la question de Gharibi est-il identique ou légèrement différent? est-ce une version relativisée de la vôtre?

— vzn

C'est une légère variante, mais je pense qu'il n'est pas difficile de prouver l'équivalent. Tout d'abord, certainement si vous pouvez résoudre la vérification de Fourier, vous pouvez également résoudre le problème de Gharibi (il suffit d'exécuter l'algorithme FC séparément pour g et h). Pour l'inverse, si vous pouvez résoudre le problème de Gharibi, alors étant donné une instance de FC, nommez la deuxième fonction FC soit "g" ou "h" uniformément au hasard, et définissez l'autre des deux (respectivement h ou g) comme étant une fonction aléatoire. Si l'algorithme de Gharibi choisit toujours la fonction d'origine dans l'instance FC, cela prouve que l'instance était liée plutôt que aléatoire.

— Scott Aaronson

Est plus connu lorsque f est en P?

— Gil Kalai

Gil: Pas vraiment! Vous obtenez alors un problème de promesse non relativisé dans BQP, que nous ne savons pas être en PH. Certes, vous pourriez simuler le cas "aléatoire" du problème oracle en remplaçant f et g par des fonctions pseudo-aléatoires (calculées en temps qui est un polynôme plus grand que la machine PH ne dispose). Le plus dur est de savoir comment simuler le cas "forrelated" du problème oracle (où f est proche de la transformée de Fourier de g)? C'est-à-dire, comment fournissez-vous de petits circuits pour de tels f et g qui ne "donnent pas le jeu entier"? (Un problème similaire se produit avec le problème de Simon.)

— Scott Aaronson

Scott Aaronson est peut-être la meilleure personne au monde pour répondre à cette question, il aura peut-être une meilleure réponse une fois celle-ci publiée. il a proposé le problème d'origine sur lequel cette question postée semble être une très légère variante, le problème dit de vérification de Fourier (plus de références à ce sujet dans les commentaires). le problème est étroitement lié / presque équivalent à la séparation de deux classes de complexité importantes PH et BQP qui est un problème ouvert clé de la théorie de la complexité QM, et il est vraisemblablement très difficile. il ne semble pas que beaucoup de recherches directes / approfondies sur le problème aient été faites jusqu'à présent par quelqu'un d'autre qu'Aaronson et peut-être même pas lui (il ne semble que remonter à un peu plus de 2 ans).

cependant, voici au moins un article d'une personne autre qu'Aaronson qui se concentre / s'appuie sur la conjecture / le problème avec de nouveaux résultats.

Les accélérations exponentielles sont génériques par Fernando GSL Brandão et Michał Horodecki

Dans notre article [4], nous généralisons le problème de vérification de Fourier [1] et montrons que la transformée de Fourier, à la fois dans la définition du problème et dans l'algorithme quantique le résolvant, peut être remplacée par une grande classe de circuits quantiques. Celles-ci incluent à la fois la transformée de Fourier sur tout groupe fini (éventuellement non abélien) et presque tout circuit quantique suffisamment long à partir d'une distribution naturelle sur l'ensemble des circuits quantiques. Nous obtenons des séparations exponentielles de la complexité des requêtes classiques quantiques et post-sélectionnées pour tous ces circuits.

— vzn
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addendum: Aaronson a formulé le problème de vérification de Fourier spécifiquement comme une voie possible / plausible pour résoudre dans la référence [1] du document de Branda ~ o.

B Q P ⊈ P H

$BQP\nsubseteq PH$

— vzn