P / Poly vs classes de complexité uniformes

On ne sait pas si NEXP est contenu dans P / poly. En effet, prouver que NEXP n'est pas en P / poly aurait des applications en dérandomisation.

Quelle est la plus petite classe uniforme C pour laquelle on peut prouver que C n'est pas contenu dans P / poly?
Est-ce que montrer que le co-NEXP n'est pas contenu dans P / poly aurait d'autres conséquences théoriques de complexité comme dans le cas NEXP vs P / poly?

Remarque: Je que est connu pour ne pas être contenu dans la pour chaque constante fixe (cela a également été montré pour MA avec 1 bit de conseil). Mais dans cette question, je ne suis pas intéressé par les résultats pour fixe . Je suis vraiment intéressé par les classes qui sont différentes de P / Poly, même si ces classes sont très importantes. $SP_2$ $Size[n^k]$ $k$ $k$

complexity

— Springberg
source

Vous demandez essentiellement un problème avec les bornes inférieures de taille superpolynomiale pour les circuits généraux.

— Kaveh

{M A}_{e x p}

$\mathsf{MA}_\mathrm{exp}$ n'est pas connu dans . Voir l'article Wikipedia pour une courte preuve.

P / p o l y

$\mathsf{P/poly}$

— Robin Kothari

P / poly est fermé sous complément, il contient donc NEXP si et seulement s'il contient coNEXP.

— Emil Jeřábek

Emil, Robin et Andrew, merci pour vos réponses. Je pense que ma question peut être considérée comme une réponse maintenant. Quelqu'un l'écrirait-il dans une réponse pour que je puisse l'accepter?

— Springberg

Je crois que

M A_{e x p}

$MA_{exp}$ est la plus petite classe uniforme avec des limites inférieures superpolynomiales connues ( people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/nonrel.pdf ), et que

O_{2}^{P}

$O^P_2$ est la plus petite avec un polynôme arbitraire inférieur limites ( citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/… ).

— Alex Golovnev

$\let\mr\mathrm$ Il existe plusieurs résultats dans la littérature indiquant qu'une certaine classe satisfait pour tout , et il est généralement simple de les remplir pour montrer que tout la version superpolynomialement développée de n'est pas dans . $C$ $C\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$ $k$ $C$ $\mr{P/poly}$

Permettez-moi de dire que est une borne superpolynomiale si elle est constructible dans le temps, et . Par exemple, est une borne superpolynomiale. En fait, un exercice instructif montre que si est une fonction calculable monotone non bornée, il existe une borne superpolynomiale telle que . $f\colon\mathbb N\to\mathbb N$ $f(n)=n^{\omega(1)}$ $n^{\log\log\log\log n}$ $g(n)$ $f$ $f(n)\le n^{g(n)}$

Premièrement, la diagonalisation directe montre que pour tout . Le même argument donne: $\Sigma_4^P\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$ $k$

Si est une borne superpolynomiale, alors . $f$ $\Sigma_4\text-\mr{TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$

Esquisse de preuve: pour tout , soit le premier circuit lexicographiquement de taille qui calcule une fonction booléenne en variables non calculables par un circuit de taille . Ensuite, le langage défini par fonctionne. $n$ $C_n$ $2f(n)$ $n$ $<f(n)$ $L$ $x\in L\iff C_{|x|}(x)=1$

Une amélioration bien connue indique que pour tout . Également, $S_2\mr P\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$ $k$

Si est une borne superpolynomiale, alors . $f$ $S_2\text-\mr{TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$

Croquis Preuve: Sinon, en particulier , donc . Par un argument de remplissage, , quod non . $\mr{NP}\subseteq S_2\mr P\subseteq\mr{P/poly}$ $\mr{PH}=S_2\mr P$ $\Sigma_4\text-\mr{TIME}(f(n))\subseteq S_2\text-\mr{TIME}(f(n))\subseteq\mr{P/poly}$

Les classes oubliées font encore mieux. Compte tenu de l'objection soulevée par Apoorva Bhagwat, considérons . Alors pour tout , et le même argument donne: $\mr{NLin=NTIME}(n)$ $\mr{NLin}\cup O_2\mr P\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$ $k$

Si est une borne superpolynomiale, alors . $f$ $\mr{NLin}\cup O_2\text-\mr{TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$

Croquis Preuve: Si , puis par remplissage, , ce qui implique . Ensuite, nous procédons comme avant. $\mr{NLin\subseteq P/poly}$ $\mr{NP\subseteq P/poly}$ $\mr{PH}=O_2\mr P$

Il existe également des résultats impliquant MA. Le résultat souvent mentionné que est une exagération. Santhanam a prouvé pour tout , et un argument similaire donne: $\mr{MA\text-EXP\nsubseteq P/poly}$

p r o m i s e - M A \cap p r o m i s e - c o M A ⊈ S I Z E (n^{k})

$\mr{promise\text-MA\cap promise\text-coMA\nsubseteq SIZE}(n^k)$

k

$k$

Si est une liaison superpolynomiale, alors $f$
$p r o m i s e - M A - T I M E (f (n)) \cap p r o m i s e - c o M A - T I M E (f (n)) ⊈ P / p o l y .$ $\mr{promise\text-MA\text-TIME}(f(n))\cap\mr{promise\text-coMA\text-TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}.$
Esquisse de preuve: par le lemme 11 de Santhanam (qui est une version accentuée du fait standard que avec un prouveur PSPACE), il existe un langage complet PSPACE et un oracle poly-temps aléatoire TM tel que sur l'entrée , ne demande que des requêtes oracle de longueur; si , alors accepte avec probabilité ; et si , alors pour tout oracle , accepte avec probabilité . $\mr{PSPACE=IP}$ $L$ $M$ $x$ $M$ $|x|$ $x\in L$ $M^L(x)$ $1$ $x\notin L$ $A$ $M^A(x)$ $\le1/2$

Pour un polynôme monotone approprié , soit soit le problème de promesse défini par Soit une réduction polynomiale de à son complément, et soit le problème de la promesse $p$ $A=(A_{\mr{YES}},A_{\mr{NO}})$
$\begin{aligned} (x, s) \in A_{Y E S} & ⟺ \exists circuit C (p (| C | + | x |) \leq f (| s |) \land Pr [M^{C} (x) accepts] = 1), \\ (x, s) \in A_{N O} & ⟺ \forall circuit C (p (| C | + | x |) \leq f (| s |) \to Pr [M^{C} (x) accepts] \leq 1 / 2) . \end{aligned}$ $\begin{align} (x,s)\in A_{\mr{YES}}&\iff\exists\text{circuit }C\,\bigl(p(|C|+|x|)\le f(|s|)\land\Pr[M^C(x)\text{ accepts}]=1\bigr),\\ (x,s)\in A_{\rlap{\mr{NO}}\phantom{YES}}&\iff\forall\text{circuit }C\,\bigl(p(|C|+|x|)\le f(|s|)\to\Pr[M^C(x)\text{ accepts}]\le1/2\bigr). \end{align}$ $h(x)$ $L$ $B=(B_{\mr{YES}},B_{\mr{NO}})$ $\begin{aligned} (x, s) \in B_{Y E S} & ⟺ (x, s) \in A_{Y E S} \land (h (x), s) \in A_{N O}, \\ (x, s) \in B_{N O} & ⟺ (x, s) \in A_{N O} \land (h (x), s) \in A_{Y E S} . \end{aligned}$ $\begin{align} (x,s)\in B_{\mr{YES}}&\iff(x,s)\in A_{\mr{YES}}\land(h(x),s)\in A_{\mr{NO}},\\ (x,s)\in B_{\rlap{\mr{NO}}\phantom{YES}}&\iff(x,s)\in A_{\mr{NO}}\land(h(x),s)\in A_{\mr{YES}}. \end{align}$ Si est choisi convenablement grand, Supposons donc pour la contradiction que a des circuits de taille polynomiale, disons, . Soit la taille du plus petit circuit calculant sur des entrées de longueur , et posons ; plus précisément, alors $p(n)$ $B \in p r o m i s e - M A - T I M E (f (n)) \cap p r o m i s e - c o M A - T I M E (f (n)) .$ $B\in\mr{promise\text-MA\text-TIME}(f(n))\cap\mr{promise\text-coMA\text-TIME}(f(n)).$ $B$ $B\in\mr{SIZE}(n^k)$ $s(n)$ $L$ $n$ $t(n)=f^{-1}(p(s(n)))$ $t (n) = min {m : p (s (n)) \leq f (m)} .$ $t(n)=\min\{m:p(s(n))\le f(m)\}.$ $x\mapsto(x,1^{t(n)})$ est une réduction de en , donc , ce qui signifie Mais comme est superpolynomial, nous avons . Cela donne une contradiction pour suffisamment grand. $L$ $B$ $L\in\mr{SIZE}(t(n)^k)$ $s (n) \leq t (n)^{k} .$ $s(n)\le t(n)^k.$ $f$ $t(n)=s(n)^{o(1)}$ $n$

Si nous préférons un résultat avec une version non promise de MA, Miltersen, Vinodchandran et Watanabe ont prouvé pour une demi-exponentielle fonction . Nous pouvons l'améliorer de deux manières: premièrement, elle vaut pour - bornes exponentielles pour toute constante , et deuxièmement, elle vaut pour les classes inconscientes. Ici, une fonction est, en gros, une fonction telle que

M A - T I M E (f (n)) \cap c o M A - T I M E (f (n)) ⊈ P / p o l y

$\mr{MA\text-TIME}(f(n))\cap\mr{coMA\text-TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$

f

$f$

\frac{1}{k}

$\tfrac1k$

k

$k$

\frac{1}{k}

$\tfrac1k$

f

$f$

\underset{k}{\underset{⏟}{f \circ \dots \circ f}} = \exp

$\underbrace{f\circ\dots\circ f}_k=\exp$ . Voir l'article Miltersen – Vinodchandran – Watanabe et ses références pour la définition précise; cela implique une famille de fonctions bien comportées , , telles que , , et . Aussi, si et , alors . Ensuite nous avons:

e_{α} (x)

$e_\alpha(x)$

α \in R_{+}

$\alpha\in\mathbb R_+$

e_{0} (x) = x

$e_0(x)=x$

e_{1} (x) = e^{x} - 1

$e_1(x)=e^x-1$

e_{α + β} = e_{α} \circ e_{β}

$e_{\alpha+\beta}=e_\alpha\circ e_\beta$

f (n) \leq e_{α} (p o l y (n))

$f(n)\le e_\alpha(\mr{poly}(n))$

g (n) \leq e_{β} (p o l y (n))

$g(n)\le e_\beta(\mr{poly}(n))$

f (g (n)) \leq e_{α + β} (p o l y (n))

$f(g(n))\le e_{\alpha+\beta}(\mr{poly}(n))$

$\mr{OMA\text-TIME}(e_\alpha)\cap\mr{coOMA\text-TIME}(e_\alpha)\nsubseteq\mr{P/poly}$ pour tout . $\alpha>0$

Croquis de preuve: Supposons le contraire. Fixe un entier tel que . Permettez-moi d'abréger Par remplissage, nous avons pour tout . De plus, en utilisant par exemple le lemme 11 de Santhanam ci-dessus, nous avons l'implication Depuis trivialement , une application répétée de (1) et (2) montre , $k$ $1/k<\alpha$
$O c O M T (f) = O M A - T I M E (p o l y (f (p o l y (n))) \cap c o O M A - T I M E (p o l y (f (p o l y (n))) .$ $\mr{OcOMT}(f)=\mr{OMA\text-TIME}(\mr{poly}(f(\mr{poly}(n)))\cap\mr{coOMA\text-TIME}(\mr{poly}(f(\mr{poly}(n))).$ $\begin{matrix} (1) & O c O M T (e_{β + 1 / k}) \subseteq S I Z E (e_{β} (p o l y (n))) \end{matrix}$ $\tag{1}\mr{OcOMT}(e_{\beta+1/k})\subseteq\mr{SIZE}(e_\beta(\mr{poly}(n)))$ $\beta\ge0$ $\begin{matrix} (2) & P S P A C E \subseteq S I Z E (e_{β} (p o l y (n))) ⟹ P S P A C E \subseteq O c O M T (e_{β}) . \end{matrix}$ $\tag{2}\mr{PSPACE\subseteq SIZE}(e_\beta(\mr{poly}(n)))\implies\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_\beta).$ $\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_1)$ $\mr{PSPACE\subseteq SIZE}(e_{(k-1)/k}(\mr{poly}(n)))$ $\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_{(k-1)/k})$ , , , etc. Après étapes, nous atteignons En utilisant à nouveau le remplissage, nous obtenons ce qui contredit les résultats ci-dessus , car est une borne superpolynomiale. $\mr{PSPACE\subseteq SIZE}(e_{(k-2)/k}(\mr{poly}(n)))$ $\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_{(k-2)/k})$ $k$ $P S P A C E \subseteq P / p o l y and P S P A C E = O M A \cap c o O M A .$ $\mr{PSPACE\subseteq P/poly}\qquad\text{and}\qquad\mr{PSPACE=OMA\cap coOMA}.$ $D S P A C E (e_{1 / k}) \subseteq O c O M T (e_{1 / k}) \subseteq P / p o l y,$ $\mr{DSPACE}(e_{1/k})\subseteq\mr{OcOMT}(e_{1/k})\subseteq\mr{P/poly},$ $e_{1/k}$

— Emil Jeřábek
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Puisque personne n'a posté de réponse, je répondrai moi-même à la question avec les commentaires postés dans la question d'origine. Merci à Robin Kothari, Emil Jerabek, Andrew Morgan et Alex Golovnev.

$MA_{exp}$ semble être la plus petite classe uniforme avec des bornes inférieures superpolynomiales connues.

$O_2^P$ semble être la plus petite classe connue n'ayant pas de circuits de taille pour chaque fixe . $n^k$ $k$

Par diagonalisation, il en résulte que pour tout super-polynomiale (et de l' espace constructible) fonction , ne comportent pas de circuit taille polynomial. versus est toujours ouvert. $s$ $DSPACE[s(n)]$ $PSPACE$ $P/poly$

$P/poly$ est fermé sous complément, il contient donc si et seulement s'il contient . $NEXP$ $coNEXP$

— Springberg
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S'il vous plaît me corriger si je me trompe, mais pour autant que je peux dire, nous ne savons pas vraiment une limite inférieure de taille polynomiale fixe pour . En effet, l'argument habituel de Karp-Lipton ne passe pas par , car nous ne savons pas si (en fait, cela revient à demander si ). Cependant, nous savons que n'est pas contenu dans pour tout , comme l'ont montré Chakaravarthy et Roy. $O_2^P$ $O_2^P$ $\textsf{NP}\subseteq O_2^P$ $\textsf{NP}\subseteq \textsf{P/poly}$ $\textsf{NP}^{O_2^P}$ $\textsf{SIZE}(n^k)$ $k$

— Apoorva Bhagwat
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