«Coloration hypergraphique toute différente» - problème connu?

Je m'intéresse au problème suivant: étant donné un ensemble X et des sous-ensembles X_1, ..., X_n de X, trouver une coloration des éléments de X avec k couleurs de telle sorte que les éléments de chaque X_i sont tous de couleurs différentes. Plus précisément, je regarde le cas où tous les X_i sont de taille k. Est-ce connu dans la littérature sous un certain nom? Je recherche des caractérisations d'instances colorables et des résultats sur la complexité (P vs NP-hard). Par exemple, pour k = 2, les instances colorables correspondent à des graphes bipartis, et donc le problème peut être résolu en temps polynomial.

Je crois que cela est connu dans la littérature comme le problème de trouver une coloration k forte pour un hypergraphe k uniforme. Cela devrait être un bon point de départ: [PDF] .

Il est également tout aussi difficile que colorier un graphique G = ( X , E ) , où E est formé en faisant de chaque X i une clique. Votre restriction que tous les X i sont de taille k signifie que vous pouvez couvrir chaque bord de G avec une clique sur k sommets.$k$$G=(X,E)$$E$$X_i$$X_i$$k$$G$$k$

Au moins aussi dur que la coloration un graphe arbitraire G = ( V , E ) . Pour chaque arête e = { u , v } vous avez un sous-ensemble X e = { u , v , x ( e , 3 ) , x ( e , 4 ) , … , x ( e , k ) } ; ici chaque x ( $k$$G = (V,E)$$e = \{u,v\}$$X_e = \{ u, v, x(e,3), x(e,4), \dotsc, x(e,k) \}$ est un élément factice qui n'est présent dans aucun autre sous-ensemble. Si vous pouvezutiliser k -colour G , vous pouvez facilement trouver une coloration du système d'ensemble (coloriez simplement les éléments factices avec avidité), et vice versa.$x(e,j)$$k$$G$

Une coloration dans laquelle chaque hyperedge est polychrome (ou arc-en - ciel ) est également connue comme une coloration forte .

Notez qu'une coloration forte d'un hypergraphe est précisément une coloration appropriée du graphe de Gaifman de l'hypergraphe. (Le graphe de Gaifman (ou graphe primitif ou 2 sections ) d'un hypergraphe est formé en ajoutant des arêtes entre deux sommets qui apparaissent ensemble dans une hyper-arête.)

Donc , si vous cherchez un -colouring d'un r -uniform hypergraphe H , alors vous pouvez chercher une manière équivalente k -colouring du graphe Gaifman de H . Le cas r = 2 correspond à la coloration du graphe, qui est polynomiale pour k = 2 et NP-complète pour k ≥ 3 . Évidemment, r < 2 est trivial, k < r ne conduit à aucune solution, et les autres cas sont tous NP-complets.$k$$r$$H$$k$$H$$r=2$$k=2$$k\ge 3$$r <2$$k\lt r$

Vitaly I. Voloshin, Coloring Mixed Hypergraphs: Theory, Algorithms and Applications , Fields Institute Monographs 17 , AMS, 2002, ISBN 0-8218-2812-6, contient une référence utile qui contient la plupart des définitions ci-dessus . Ce livre couvre le cas plus général des colorations faibles, avec un accent particulier sur la combinaison de deux types de bords colorés: bords, qui ont au moins deux sommets avec une couleur commune, et D- bords, qui ont au moins deux sommets de différents couleurs.$C$$D$