Accélération non déterministe du calcul déterministe

Le non-déterminisme peut-il accélérer le calcul déterministe? Si oui, combien?

En accélérant le calcul déterministe par le non-déterminisme, j'entends les résultats de la forme:

$\mathsf{DTime}(f(n)) \subseteq \mathsf{NTime}(n)$

Par exemple quelque chose comme

$\mathsf{DTime}(n^2) \subseteq \mathsf{NTime}(n)$

Quel est le résultat d'accélération le plus connu du calcul déterministe par non-déterminisme? Que dire $\mathsf{\Sigma^P_kTime}(n)$ ou encore $\mathsf{ATime}(n)$ à la place de $\mathsf{NTime}(n)$ ?

Supposons que les classes de complexité soient définies à l'aide de machines de Turing à bandes multiples pour éviter les particularités bien connues des machines de Turing à bande sub-quadratique temporelle.

Vous ne devez pas vous attendre à une accélération excitante. Nous avons

et la simulation la plus connue du temps déterministe par l'espace est toujours le théorème de Hopcroft – Paul – Valiant

Ainsi, le non-déterminisme ou l'alternance n'est pas connu pour donner une accélération de plus d'un facteur logarithmique. (Je soupçonne qu'aucune accélération super-linéaire n'est connue non plus, bien que je ne sois pas sûr que le théorème du HPV ne puisse pas fonctionner avec ATIME à la place de DSPACE.)

Il existe deux concepts distincts:

(1) Simulation efficace de machines déterministes par des machines non déterministes.

(2) Accélération des résultats qui sont obtenus en appliquant une simulation encore et encore.

Je ne connais aucune simulation efficace de machines déterministes par des machines non déterministes, mais je connais plusieurs résultats d'accélération qui pourraient être utilisés s'il existe des simulations efficaces.

Considérons la classe des langages qui sont décidables par une machine de Turing non déterministe fonctionnant pendant t ( n ) temps en utilisant seulement g ( n ) suppositions non déterministes. En d'autres termes, la longueur du témoin est limitée par g ( n ) .$NTIGU(t(n), g(n))$$t(n)$$g(n)$$g(n)$

Si vous avez une simulation plus efficace utilisant uniquement suppositions non déterministes log ( n ) , alors je pense que vous pouvez l'accélérer un peu. En particulier, je pense que vous pouvez prouver ce qui suit:$\log(n)$

Si , alors D T I M E ( 2 $DTIME(n \log(n)) \subseteq NTIGU(n, \log(n))$.$DTIME(2^{\sqrt{n}}) \subseteq NTIME(n)$

Si vous trouvez cela intéressant, je peux rédiger la preuve.

Ryan Williams a présenté quelques accélérations connexes dans «L'amélioration de la recherche exhaustive implique des limites inférieures superpolynomiales».

Voici une explication des raisons pour lesquelles une accélération non déterministe de la quartique générale du calcul déterministe, même si elle est vraie, serait difficile à prouver:

Supposons qu'une accélération quartique non déterministe générale du calcul déterministe comme vérifiée. Dans un souci de contradiction, supposons que S A T ∈ D T i m e ( o ( n 2 / lg n ) ) . Il y a une réduction du temps quadratique de tout problème dans N T i m e ( $\mathsf{DTime}(n^4) \subseteq \mathsf{NTime}(n)$$\mathsf{SAT} \in \mathsf{DTime}(o(n^2/\lg n))$$\mathsf{NTime}(n)$ à . En les combinant, nous aurions D T i $\mathsf{SAT}$ contredisant le théorème de la hiérarchie temporelle.$\mathsf{DTime}(n^4) \subseteq \mathsf{DTime}(o(n^4/\lg n))$

Par conséquent, une accélération non terminique quartique générale du calcul déterministe impliquerait une borne inférieure pour :$\mathsf{SAT}$

$\mathsf{DTime}(n^4) \subseteq \mathsf{NTime}(n) \to \mathsf{SAT} \notin \mathsf{DTime}(o(n^2/\lg n))$

$\mathsf{SAT}$

$f(n)$

$\mathsf{DTime}(f(n^2)) \subseteq \mathsf{NTime}(n) \to \mathsf{SAT} \notin \mathsf{DTime}(o(f(n)/\lg n))$.

(If in place of $\mathsf{SAT}$ we pick a problem which is hard for $\mathsf{NTime}(n)$ under linear-time reductions then this would give $f(n)/\lg n$ lower bound for that problem. If we fix the number of the machine tapes to some $k\geq 2$ then we can use Fürer's time hierarchy theorem which does not have the $\lg n$ factor.)