Nouvelle preuve de pompage du lemme pour les langues régulières

Soit la famille de toutes les langues sur satisfaisant la propriété de pompage des langues régulières. A savoir: pour chaque , il y a un st chaque mot , peut s'écrire sous la forme w = xyz où: 1. | y |> 0 , 2. | xy | \ le N , 3. xy ^ iz \ in L pour tout i \ ge 0 . Σ L ∈ L N ∈ N w ∈ L | w | > N w = x y z | y | > 0 | x y | ≤ N x y i z ∈ L i ≥ $\mathcal{L}$$\Sigma$$L\in\mathcal{L}$$N\in\mathbb{N}$$w\in L$$|w|> N$$w=xyz$$|y|>0$$|xy|\le N$$xy^i z\in L$$i\ge 0$

C'est un simple exercice [1] pour prouver que contient les langages singleton L = \ {\ sigma \} , \ sigma \ in \ Sigma , et est fermé sous union, concaténation et étoile de Kleene. Il est également bien connu que la famille des langues régulières est la plus petite qui contient les singletons et est fermée sous l'union, la concaténation et l'étoile de Kleene. Conclusion: les langages réguliers satisfont la propriété de pompage. L = { σ } σ ∈ $\mathcal{L}$$L=\{\sigma\}$$\sigma\in\Sigma$

Question: quelqu'un a-t-il vu cette preuve dans la littérature? [1] Proposé par D. Berend.

Essentiellement, le même argument est avancé par Andries PJ van der Walt (1976, lemme 2.3 et exemple 2.9) pour la variante du lemme de pompage où lettres sont marquées et les trois , , doivent contenir des lettres marquées. Voir aussi Autebert, Boasson et Cousineau (1978) pour plus de propriétés de familles abstraites de langages satisfaisant cette variante du lemme de pompage.x y $N$$x$$y$$z$