Une preuve interactive du nombre de Dieu?

J'ai récemment appris les preuves interactives et je me demandais si le tout n'était rien de plus qu'une curiosité théorique, ou s'il avait des applications pratiques. J'ai pensé commencer par un exemple qui m'est venu sous la douche:

Ces derniers temps, la nouvelle a été que "Nombre de Dieu" = 20. (Le nombre de Dieu est le nombre minimal d'étapes nécessaires pour résoudre le Rubik's Cube). Bien que cela soit assez intéressant, il semble y avoir une petite torsion ... Ce n'est pas une preuve "normale" dans le manuel, au sens polynomial vérifiable du temps. Cette preuve a une saveur distinctement "de force brute" - j'entends par là, les mecs du laboratoire du Dr Morley ont essayé avec des milliards et des milliards de combinaisons de cubes dans les supercalculateurs massifs de Google pour trouver cette borne inférieure nette et serrée.

Quoi qu'il en soit, la question est: comment pouvons-nous être certains que le Dr Morley Davidson et son équipe sont honnêtes? Eh bien, tout de suite peut jeter l'argument de l'autorité par la fenêtre car ce n'est pas mathématiquement rigoureux. L'alternative évidente est de revérifier la preuve, en vérifiant le code source et en exécutant à nouveau le tout, ce qui semble être un gaspillage terrible de ressources de calcul, sans parler du fait que tous ceux qui souhaitaient en être convaincus le feraient besoin de le faire sur son propre poste de travail - une proposition très fastidieuse et désagréable pour le vrai sceptique. Cela semble donc être une sorte de deilema ontologique.

Donc, ce que je crois, c'est exactement une situation où nous avons besoin d'une preuve interactive . Le Supercalculateur de Google pourrait être le prouveur tout puissant mais trompeur, et nous, les membres sceptiques, sinon anaux du public, sommes les vérificateurs à limites polynomiales. Si nous pouvions en quelque sorte interroger notre «Oracle» un nombre polynomial de fois, et être convaincus de cette limite inférieure, nous pourrions être convaincus du fait qu'il a raison, hors de tout doute raisonnable.

Il semble donc que le problème de décision «Le nombre de Dieu est <20» réside dans ou peut être reformulé comme suit (de manière informelle)$\Pi_2^p$

Pour toutes les combinaisons de départ dans le Rubik's Cube, il existe une solution qui prend <= 20 étapes, qui le résout.$\alpha$$\beta$

(je ne sais pas si c'est correct, mais et sont tous deux de petite taille, étant donné une configuration de départ et une solution, il est facile de vérifier qu'il résout bien le cube)$\alpha$$\beta$

et le problème de décision "Le nombre de Dieu est 20" peut être reformulé comme

Le nombre de Dieu est <20 et il existe une solution pour une combinaison de départ du cube de Rubik qui prend 20 étapes.

Il existe donc probablement une preuve IP [n] pour cela. (encore une fois, vérifiez mon fonctionnement)

Ma question est double

1. Existe-t-il un moyen réel de procéder?
2. Quels autres exemples d'utilisations «pratiques» de preuves interactives existe-t-il?

... il semble que le problème de la décision "Le nombre de Dieu est <20" réside dans .$\Pi_2^p$

Cela lui suffit pour avoir une preuve interactive. En fait, Lund et al. a prouvé que chaque langage de la hiérarchie polynomiale (PH) a une preuve interactive en utilisant le théorème de Toda ( ). Ils ont réduit L ∈ P H en langage P-complet PERMANENT et ont fourni une méthode algébrique qui peut être utilisée pour prouver PERMANENT de manière interactive. (Ceci est très inexact; veuillez vous reporter au document pour plus d'informations.)$\rm{PH} \subseteq P^{\#P}$$L\in \rm{PH}$

En utilisant leurs techniques, Shamir a prouvé que IP = PSPACE .

Il a été précédemment prouvé que toutes les IP ont des preuves de connaissance zéro , donc:

Toutes les langues de PSPACE ont des preuves interactives sans connaissances.

Détermination du fait que $20$ est le diamètre (numéro de Dieu) du groupe Cube de Rubik $G$ sous le demi-tour métrique avec Singmaster groupe électrogène $s=\langle U, U', U^2, D, D', D^2,\cdots\rangle$ était une superbe résultat. Je suis curieux de savoir les questions de suivi, telles que la détermination du nombre torsions demi-tour $m$ il faudrait pour obtenir le cube entièrement « mixte » à $\epsilon$ -Près de la distribution stationnaire uniforme $\pi$ .

Je crois qu'un tel mélange présente une coupure dans laquelle pour $n\lt m$ , certaines configurations sont beaucoup plus probables que d'autres, alors que pour $n\ge m$ le cube est presque entièrement brouillé à la distribution uniforme $\pi$ , et aucun grand sous-ensemble $A\subset G$ de configurations est défavorisée. Il pourrait y avoir une promesse au cœur de tout mélange qui présente une telle coupure. Cette promesse peut être mise à profit pour créer un protocole Arthur-Merlin $\mathsf{AM}$

Par exemple, en notant que $\vert s \vert=18$ et appelant $m$ le temps de mélange à vérifier, je pense que nous pouvons promettre:

• Si $n\ge m$ alors pour tout sauf un très petit nombre, $\epsilon$ , des éléments $g\in G$ il y a très près de $\frac{18^n}{\vert G \vert}$manières d'écrire$g$sous forme de mots en$s$de longueur$\le n$, et

• Si $n \lt m$ , alors il y a un nombre beaucoup plus grand, $k=\vert A\vert$, des éléments $g\in G$ où $g$ ne peut être écrit qu'au plus $\frac{18^n}{2 \vert G \vert}$chemins comme mots de longueur$\le n$.

Ici, je pense à $\epsilon$ comme, disons, $\frac{1}{10^9}\vert G\vert$et$k$as, disons$\frac{1}{10}\vert G\vert$.

Les astuces de hachage universelles standard créent une seule preuve Arthur-Merlin ronde que le temps de mélange est d'au moins $n$ .

1. Arthur choisit un élément aléatoire $g\in G$ , un hachage aléatoire $h$ mappant les mots de $G$ sur un ensemble de taille $\frac{18^n}{\vert G \vert}$, et une image aléatoire$y$de$h$
2. $W$$n$$g$
3. $W$$h(W)=y$$\le n$$g$
4. Arthur et Merlin répètent pour amplifier au besoin

Parce que, pour les groupes, je pense que le temps de mélange est au moins le diamètre (le nombre de Dieu), cela fournit également une preuve Arthur-Merlin pour lier le nombre de Dieu d'un grand groupe.