Conjecture: Tous les langages FPT NP-complets sont à paramètres fixes isomorphes

Conjecture de Berman – Hartmanis: tous les langages NP-complets se ressemblent, en ce sens qu'ils peuvent être liés les uns aux autres par des isomorphismes polynomiaux temporels [1].

Je suis intéressé par une version plus fine du "temps polynomial", c'est-à-dire si nous utilisons des réductions paramétrées.

Un problème paramétré est un sous-ensemble de , où est un alphabet fini et est l'ensemble des nombres non négatifs. Une instance d'un problème paramétré est donc une paire , où est le paramètre. $Σ^∗ × Z \geq 0$ $Σ$ $Z\geq 0$ $(I, k)$ $k$

Un problème paramétré est à paramètre fixe réductible à un problème paramétré s'il existe des fonctions , : , et un polynôme de telle sorte que pour toute instance de , $π_1$ $π_2$ $f$ $g$ $Z≥0 → Z≥0$ $Φ : Σ∗ × Z≥0 → Σ^∗$ $p(·)$ $(I, k)$ $π_1$ est une instance de calculable dans le temps et si et seulement si $(Φ(I, k), g(k))$ $π_2$ $f(k) · p(|I|)$ $(I, k) ∈ π_1$ $(Φ(I, k), g(k)) ∈ π_2$ . Deux problèmes paramétrés sont équivalents à paramètre fixe s'ils sont réductibles l'un à l'autre.

Certains problèmes NP-complets sont FPT, par exemple, la version de décision du problème de couverture de sommets est NP-Complète, elle a un [2]. Trouver de meilleures réductions de paramètres fixes d'un problème FPT qui est NP-complet peut conduire à un meilleur algorithme, par exemple, en invoquant une réduction à une "version garantie ci-dessus" du problème Multiway Cut peut conduire à un algorithme dans le temps pour le problème AGVC (Above Guarantee Vertex Cover) [3], qui est meilleur que l' algorithme original [4]. $O(1.2738^k + kn)$ $O^*(4^k)$ $O^*(15^k)$

$\textbf{My Conjecture: All FPT NP-complete languages are fixed-parameter-isomorphic.}$

Cette conjecture est-elle vraie?

[1] Berman, L .; Hartmanis, J. (1977), «Sur les isomorphismes et la densité de NP et d'autres ensembles complets», SIAM Journal on Computing 6 (2): 305–322.

[2] J. Chen, IA Kanj et G. Xia, Amélioration des limites supérieures pour la couverture des sommets, Theor.Comput. Sei., 411 (2010), pp. 3736-3756.

[3] M. Cygan, M. Pilipczuk, M. Pilipczuk et JO Wojtaszczyk, On multiway cut paramétré au-dessus des limites inférieures, dans IPEC, 2011.

[4] M. Mahajan et V. Raman, Paramétrer les valeurs garanties ci-dessus: Maxsat et maxcut, J. Algorithms, 31 (1999), pp. 335-354.

complexity-classes np-complete fixed-parameter-tractable

— Rupei Xu
source

Je ne comprends pas ce que vous entendez par "langage FPT NP-complet". Il n'y a pas de notion naturelle qu'un langage soit en soi FPT; la question est de savoir si une paire langue / paramètre est FPT.

— Huck Bennett

Notez qu'une réduction à paramètres fixes peut simplement résoudre un problème FPT et générer une instance Oui / Non triviale du problème cible.

— Serge Gaspers

Serge Gaspers a déjà mentionné pourquoi votre conjecture est trivialement vraie.
Cependant, on peut en fait obtenir des isomorphismes à paramètres fixes à temps polynomial ,
ce que je réalise maintenant n'est pas beaucoup moins trivial, car il s'applique à chaque
paire ordonnée de problèmes FPT non triviaux avec une réduction au sens ordinaire.

$c$ $\pi_1$
$Y$ $N$ $\pi_2$
$\pi_1$ $\pi_2$

$\pi_1$ $n^{\hspace{.02 in}c}$
$Y$ $N$
$\pi_1$ $\pi_2$

$\:$ $c$ $\pi_1$ $k$ $n$ $n^{\hspace{.02 in}c}$ $\:$ $k$ $\:$ Par conséquent, il satisfait votre condition de paramètre fixe.