Existe-t-il un problème naturel en temps quasi polynomial, mais pas en temps polynomial?

László Babai a récemment prouvé que le problème d'isomorphisme des graphes est en temps quasi-polynomial . Voir également son exposé à l'Université de Chicago, note des exposés de Jeremy Kun GLL post 1 , GLL post 2 , GLL post 3 .

Selon le théorème de Ladner, si $P \neq NP$ , alors $NPI$ n'est pas vide, c'est-à-dire que $NP$ contient des problèmes qui ne sont ni en $P$ ni en $NP$ -complets. Cependant, le langage construit par Ladner est artificiel et n'est pas un problème naturel. Aucun problème naturel est connu pour être en $NPI$ , même sous condition $P \neq NP$ . Mais certains problèmes sont considérés comme de bons candidats pour $NPI$ , tels que les entiers de factorisation et l'IG.

On peut penser qu'avec le résultat de Babai, il pourrait y avoir un algorithme polynomial de temps pour GI. De nombreux experts estiment que $NP \not\subseteq QP = DTIME(n^{poly\log n})$ .

Il existe certains problèmes pour lesquels nous connaissons des algorithmes de temps quasi-polynomiaux, mais aucun algorithme de temps polynomial n'est connu. De tels problèmes se posent dans les algorithmes d'approximation; un exemple célèbre est le problème de l'arbre de Steiner dirigé, pour lequel il existe un algorithme d'approximation du temps quasi polynomial atteignant un rapport d'approximation de ( étant le nombre de sommets). Cependant, montrer l'existence d'un tel algorithme de temps polynomial est un problème ouvert.$O(\log^3 n)$$n$

Ma question:

Connaissons-nous des problèmes naturels qui sont en $QP$ mais pas en $P$ ?

En fait, il y a eu pas mal de travaux récents sur la démonstration de la limite inférieure du temps de fonctionnement quasi-polynomial pour les problèmes de calcul, principalement basés sur l'hypothèse de temps exponentiel. Voici quelques résultats pour des problèmes que je considère tout à fait naturels (tous les résultats ci-dessous sont conditionnels à l'ETH):

• Aaronson, Impagliazzo et Moshkovitz [1] montrent une limite inférieure de temps quasi-polynomiale pour les problèmes de satisfaction de contraintes denses (CSP). Notez que la façon dont le CSP est défini dans cet article permet au domaine d'être polynomialement grand, car le cas où le domaine est petit est connu pour avoir un PTAS.

• Braverman, Ko et Weinstein [2] prouvent une limite inférieure de temps quasi-polynomiale pour trouver équilibre de Nash approximatif ϵ -best ϵ , qui correspond à l'algorithme de Lipton et al. [3].$\epsilon$$\epsilon$

• Braverman, Ko, Rubinstein et Weinstein [4] montrent une limite inférieure de temps quasi-polynomiale pour approximer le sous- graphe plus dense avec une complétude parfaite (c'est-à-dire étant donné un graphique qui contient une k -clique, trouve un sous-graphe de taille k qui est ( 1 - ϵ ) -dense pour une petite constante ϵ ). Encore une fois, il existe un algorithme de temps quasi polynomial pour le problème (Feige et Seltser [5]).$k$$k$$k$$(1 - \epsilon)$$\epsilon$

Les références

1. AM avec plusieurs Merlins. In Computational Complexity (CCC), 2014 IEEE 29th Conference on, pages 44–55, juin 2014.

2. Mark Braverman, Young Kun Ko et Omri Weinstein. Approximation le meilleur équilibre nash en casse -time l'hypothèse de temps exponentielle. Dans les actes du vingt-sixième symposium annuel ACM-SIAM sur les algorithmes discrets, SODA '15, pages 970–982. SIAM, 2015.$n^{o(log n)}$

3. Richard J. Lipton, Evangelos Markakis et Aranyak Mehta. Jouer à de grands jeux en utilisant des stratégies simples. Dans les Actes de la 4ème Conférence ACM sur le commerce électronique, EC '03, pages 36–41, New York, NY, USA, 2003. ACM.

4. Mark Braverman, Young Kun-Ko, Aviad Rubinstein et Omri Weinstein. Dureté ETH pour Densest- -Subgraph avec exhaustivité parfaite. Colloque électronique sur la complexité informatique (ECCC), 22:74, 2015.$k$

5. U. Feige et M. Seltser. Sur les problèmes de sous-graphe les plus denses . Rapport technique, 1997.$k$

Megiddo et Vishkin prouvé que du dominant minimum dans les tournois est en . Ils ont montré que l'ensemble dominant du tournoi a un algorithme de temps P si SAT a un algorithme de temps sous-exponentiel. Par conséquent, le problème du set dominant du tournoi ne peut pas être en P sauf si l'ETH est faux.$QP$$P$

Il est très intéressant de noter que l'hypothèse de temps exponentiel implique simultanément que l'ensemble dominant de tournoi ne peut pas avoir d'algorithmes polynomiaux de temps et qu'il ne peut pas être complet$NP$ . En d'autres termes, ETH implique que l'ensemble dominant du tournoi est en -intermédiaire.$NP$

Woeginger suggère un problème candidat résoluble en temps quasi-polynomial et n'a probablement pas d'algorithmes de temps polynomial: Étant donné entiers, pouvez-vous sélectionner log n d'entre eux qui totalisent 0 ?$n$$\log n$$0$

Le calcul de la dimension VC semble peu probable dans le temps polynomial, mais possède un algorithme de temps quasipolynomial.

De plus, il semble difficile de détecter une clique plantée de taille dans un graphe aléatoire, mais on peut en trouver une en temps quasi-polynomial; bien que la nature de ce problème de promesse soit quelque peu différente de celle évoquée précédemment.$O(\log n)$

Si l'hypothèse du temps exponentiel est correcte (ou même des versions plus faibles), alors on ne peut pas résoudre 3SAT pour les instances avec un nombre polyglog de variables en temps polynomial. Bien sûr, le temps quasi polynomial peut résoudre de tels cas facilement.

$T(n ) * \log n$$T(n)$$T(n)$

Les jeux de résolution de parité se sont récemment révélés être en QP: https://www.comp.nus.edu.sg/~sanjay/paritygame.pdf

$\mu$ satisfiabilité de -calcul.

$NP\cap coNP$$UP\cap coUP$ . En outre, il y a eu des améliorations répétées de l'exposant d'un algorithme déterministe pour eux, au cours des deux dernières décennies (voir l'introduction dans le lien ci-dessus pour une enquête).

Cependant, le récent article ci-dessus a fait un bond significatif vers QP. On ne sait toujours pas si ces jeux sont en P.

Dans les algorithmes classiques, la décroissance de corrélation et les zéros complexes des fonctions de partition des systèmes quantiques à plusieurs corps par Aram Harrow, Saeed Mehraban et Mehdi Soleimanifar

un algorithme classique à temps quasi polynomial qui estime la fonction de partition des systèmes quantiques à plusieurs corps à des températures supérieures au point de transition de phase thermique

est présenté.

On ne peut pas dire grand-chose ici sur la partie "mais pas en temps polynomial" de la question. Il peut même être probable qu'un algorithme de temps polynomial soit trouvé plus tard, étant donné l'historique des travaux précédents, voir ci-dessous.

Comment «estimer la fonction de partition» est-il lié aux algorithmes d'approximation? Travaux antérieurs (p. 11):

Il existe une approche conceptuellement différente récente pour estimer la fonction de partition, qui est la base de ce travail. Cette approche considère la fonction de partition comme un polynôme de grande dimension et utilise l'expansion de Taylor tronquée pour étendre la solution à un point facile à calculer à un régime de paramètres non trivial. Depuis son introduction [Bar16a], cette méthode a été utilisée pour obtenir des algorithmes déterministes pour divers problèmes intéressants tels que les modèles d'Isom ferromagnétiques et antiferromagnétiques [LSS19b, PR18] sur des graphes bornés.

comprend

[LSS19b] Jingcheng Liu, Alistair Sinclair et Piyush Srivastava. La fonction de partition Ising: zéros et approximation déterministe. Journal of Statistical Physics, 174 (2): 287–315, 2019. arXiv: 1704.06493

qui mentionne ce qui suit dans cette section sur les travaux connexes:

Dans une ligne de travail parallèle, Barvinok a lancé l'étude de l'approximation de Taylor du logarithme de la fonction de partition, ce qui a conduit à des algorithmes d'approximation du temps quasi-polynomiaux pour une variété de problèmes de comptage [6, 7, 9, 10]. Plus récemment, Patel et Regts [41] ont montré que pour plusieurs modèles qui peuvent être écrits comme des sous-graphes induits, on peut en fait obtenir un FPTAS à partir de cette approche.

[41] V. Patel et G. Regts. Algorithmes déterministes d'approximation du temps polynomial pour les fonctions de partition et les polynômes graphiques. SIAM J. Comput., 46 (6): 1893–1919, déc. 2017. arXiv: 1607.01167

En conclusion, "l'estimation de la fonction de partition" est étroitement liée aux algorithmes d'approximation, et il y a eu des algorithmes d'approximation du temps quasi-polynomiaux pour une variété de problèmes de comptage, et pour certains de ces FPTAS ont été obtenus. Donc, dans l'ensemble, cette classe de problèmes liés à la fonction de partition semble produire des algorithmes d'approximation du temps quasi-polynomiaux, mais souvent des améliorations ultérieures atteignent le temps polynomial.