Réduction multiple la plus lente?

Lorsque nous voulons prouver qu'un est complet, alors l'approche standard est de montrer à une réduction de plusieurs un calculable en temps polynomial d'un problème complet connu . Dans ce contexte, nous n'avons pas besoin d'une limite stricte sur la durée de la réduction. Il suffit d'avoir une liaison polynomiale, ce qui peut éventuellement avoir un degré très élevé. $L\in \bf NP$ $\bf NP$ $\bf NP$ $L$

Néanmoins, pour les problèmes naturels, la borne est généralement un polynôme de faible degré (définissons low comme quelque chose à un seul chiffre). Je ne prétends pas que cela doit toujours être le cas, mais je ne connais pas de contre-exemple.

Question: Y a - t-il un contre-exemple? Il s'agirait d'une réduction multi-un calculable en polytemps entre deux problèmes naturels de , de sorte qu'aucune réduction plus rapide n'est connue pour le même cas, et le meilleur temps d'exécution polynomial lié est un polynôme de haut degré . $NP$

Remarque: Des exposants grands, voire énormes, sont parfois nécessaires pour des problèmes naturels dans , voir Algorithmes à temps polynomial avec exposant / constante énorme . Je me demande si la même chose se produit également dans les réductions des problèmes naturels? $P$

cc.complexity-theory reductions np-complete

— Andras Farago
source

Ce document est peut-être pertinent. L'intégralité du NP sous des réductions très limitées (par exemple AC0 ou logspace) est intéressante, car la plupart des réductions sont intuitivement "basées sur des gadgets", ce qui découle du fait que le calcul est un phénomène local

— Joe Bebel

Nous traitons habituellement avec des réductions qui transforment une instance de SAT (ou un simple problème de NPC) à une instance de

. Mais penser à l'envers

(c'est-à-dire - dans le monde réel - essayer de résoudre un problème en utilisant un solveur SAT) conduit à des réductions de temps polynomiales avec des exposants embarrassants :-). Par exemple, une classe de problèmes assez naturelle que je connais, découle des jeux complets de PSPACE, lorsque vous ajoutez des contraintes (temps, nombre de mouvements, visites limitées aux emplacements, ...) qui les font tomber en NP, et essayez ensuite de les résoudre avec un solveur SAT, c'est-à-dire de trouver une réduction efficace en SAT.

L

$L$

L \leq_{p} S A T

$L \leq_p SAT$

— Marzio De Biasi

Je me souviens que nous avions une question connexe à propos des problèmes naturels de NP qui nécessitent de gros certificats (c'est-à-dire des limites inférieures de complexité de preuve élevée), mais je ne l'ai pas trouvée.

— Kaveh

@Kaveh: l'un est à moi: " Problèmes naturels NP-complets avec les" grands "témoins " :-)

— Marzio De Biasi

D'après les théorèmes de la hiérarchie, il existe des problèmes dans NP avec des bornes inférieures de temps non déterministes qui sont des polynômes de degré arbitrairement élevé. Choisissez un problème qui nécessite au moins

étapes non déterministes, pour

. Supposons qu'il existe une réduction de plusieurs de ce problème à SAT qui utilise au plus

temps

. L'instance SAT ne peut alors pas être supérieure à

bits

. Cela peut ensuite être décidé en utilisant au plus

étapes non déterministes. Donc

n^{d}

$n^d$

d \geq 20

$d \ge 20$

n^{c}

$n^c$

n^{c}

$n^c$

n^{2 c}

$n^{2c}$

c \geq d / 2 \geq 10

$c \ge d/2 \ge 10$ . Si vous voulez que le problème soit également naturel, vous demandez essentiellement des problèmes naturels qui ne sont pas dans NTIME (

n^{d}

$n^d$

— András Salamon

Allender suggère que la réponse est non:

Il ne semble pas y avoir de paire de problèmes naturels NP-complets A et B connus, où une réduction de A à B est connue pour nécessiter plus que du temps linéaire (même en supposant que P NP) $\ne$

Référence:

E. Allender et M. Koucký, Amplifier les bornes inférieures au moyen de l'auto-réductibilité . Journal de l'ACM 57, 3, article 14 (mars 2010).

— Mohammad Al-Turkistany
source

Pourriez-vous s'il vous plaît fournir un lien vers le document où Allender écrit ceci, ou une référence?

— Andras Farago

@AndrasFarago Le lien est fourni. Cliquez sur Allender :).

— Mohammad Al-Turkistany

Désolé, j'ai raté le lien. Après avoir examiné le document, j'ai trouvé une autre déclaration assez intéressante: "aucun problème naturel de NP-complet n'est connu en dehors de NTIME (n)." (C'est dans la phrase qui précède immédiatement la partie citée.)

— Andras Farago

Je suggère une certaine discrétion lors de l'interprétation de ces déclarations. Il y a des cas où seule, disons, une réduction quadratique est connue. Par exemple, une réduction à une version planaire d'un problème NP-complet peut utiliser un nombre quadratique de gadgets de croisement. Les limites inférieures sont délicates et beaucoup de choses «ne sont pas réputées nécessiter».

— Joe Bebel

@JoeBebel J'accepte que la discrétion soit nécessaire lors de l'interprétation de ces déclarations. Par exemple, dans l'affirmation selon laquelle «aucun problème naturel NP-complet n'est connu en dehors de NTIME (n)», les auteurs avaient probablement en tête une interprétation plus étroite du «naturel». Peut-être qu'ils signifient quelque chose comme ça: un problème naturel est un problème que les gens peuvent vraiment vouloir résoudre sur la base d'une motivation pratique.

— Andras Farago du