Algorithme de multiplication vectorielle matricielle utilisant un nombre minimal d'additions

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Considérez le problème suivant:

Étant donné une matrice nous voulons optimiser le nombre d'additions dans l'algorithme de multiplication pour calculer . $M$ $v \mapsto Mv$

Je trouve ce problème intéressant en raison de ses liens avec la complexité de la multiplication matricielle (ce problème est une version restreinte de la multiplication matricielle).

Que sait-on de ce problème?

Y a-t-il des résultats intéressants reliant ce problème à la complexité du problème de multiplication matricielle?

La réponse au problème semble impliquer de trouver des circuits avec uniquement des portes d'addition. Et si nous autorisons les portes de soustraction?

Je recherche des réductions entre ce problème et d'autres problèmes.

Motivé par

— vzn
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Si

est une matrice

0-1, les limites inférieures connues du nombre d'additions dépendent essentiellement du groupe / semigroupe sur lequel nous travaillons. Si nous travaillons sur le semi-groupe

ou même

, alors la borne de Nechiporuk, avec les constructions connues, donne une borne inférieure explicite d'environ

. Si toutefois nous sommes dans le groupe

M

$M$

n \times n

$n\times n$

(N, +)

$(N,+)$

({0, 1}, \lor)

$(\{0,1\},\lor)$

n^{2 - o (1)}

$n^{2-o(1)}$

(G F (2), +)

$(GF(2),+)$ , alors la situation est plutôt déprimante: les bornes inférieures connues les plus fortes ne sont que de la forme

. Plus d'informations peuvent être trouvées ici .

ω (n)

$\omega(n)$

— Stasys

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C'est essentiellement le problème qui a motivé Valiant à introduire la rigidité de la matrice dans la complexité (pour autant que je comprends l'histoire).

Un circuit linéaire est un circuit algébrique dont les seules portes sont des portes combinées linéaires à deux entrées. Chaque transformation linéaire (matrice) peut être calculée par un circuit linéaire de taille quadratique, et la question est de savoir quand peut-on faire mieux. On sait que pour une matrice aléatoire, on ne peut pas faire beaucoup mieux.

Certaines matrices - comme la matrice de transformée de Fourier, une matrice de bas rang ou une matrice clairsemée - peuvent être nettement améliorées.

Une matrice suffisamment rigide ne peut pas être calculée par des circuits linéaires qui sont simultanément de taille linéaire et de profondeur logarithmique (Valiant), mais à ce jour aucune matrice explicite n'est connue pour laquelle il existe une borne inférieure super-linéaire sur la taille des circuits linéaires.

Je ne me souviens pas avoir vu des résultats disant qu'il était difficile de calculer la taille du plus petit circuit linéaire pour une matrice donnée, mais je ne serais pas surpris s'il était dur NP.

— Joshua Grochow
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C'est NP-difficile, voir cstheory.stackexchange.com/a/32272/225

— Ryan Williams

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$M$

$\Omega(n (\log n/\log \log n)^{d-1})$ $M$ $n\times n$ $d$
$\Omega(n^{4/3})$ $M$ $n\times n$ $d$
$\tilde{\Omega}(n^{2-2/(d+1)})$ $M$ $n\times n$ $d$

Ces limites sont toutes essentiellement les meilleures possibles. Voir chapitre 6.3. dans le livre de Chazelle .

— Sasho Nikolov
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