Complétude sous les réductions de Karp injectives

La réduction de Karp est une réduction de plusieurs un calculable en temps polynomial entre deux problèmes de calcul. De nombreuses réductions de Karp sont en fait des fonctions individuelles. Cela soulève la question de savoir si chaque réduction de Karp est injective (fonction one-one).

Y a-t-il un problème naturel de complet qui n'est connu pour être complet que sous plusieurs réductions de Karp et qui n'est pas connu pour être complet sous réduction de Karp injective? Que gagnons-nous (et perdons) si nous définissons la complétude de utilisant la réduction de Karp injective? $NP$ $NP$

Un gain évident est que les ensembles clairsemés ne peuvent pas être complets sous des réductions de Karp injectives.

cc.complexity-theory

— Mohammad Al-Turkistany
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Pourquoi Karp a-t-il utilisé plusieurs réductions de temps polynomiales au lieu d'une seule? A-t-il été influencé par les réductions utilisées dans la théorie de la calculabilité?

— Mohammad Al-Turkistany,

Je pense que j'ai déjà en quelque sorte abordé cette question (ou une question très proche) dans un commentaire sur cette réponse: cstheory.stackexchange.com/a/172/129 .

— Joshua Grochow

@JoshuaGrochow Injectivity nous donne une limite inférieure sur la densité des ensembles durs. Êtes-vous au courant d'un problème de NP-complet qui n'est pas connu comme étant complet avec des réductions de Karp par injection? Veuillez envisager de publier votre commentaire comme réponse.

— Mohammad Al-Turkistany

Réponses:

$|f(x)|>|x|$ $f$

$NP$ $P\neq NP$

$NP$

$NP$ $p$ $P\neq NP$
$P\neq NP$

$P\neq NP$

— Andras Farago
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L'inverse d'une fonction augmentant la longueur diminue la longueur . Ou est-ce que je manque quelque chose?

— Emil Jeřábek

De plus, l'isomorphisme p des problèmes NP-complets implique-t-il P! = NP pour la raison triviale qu'un langage à un élément n'est pas isomorphe à un langage à deux éléments, ou est-il plus sophistiqué? Si vous autorisez des langages finis, la revendication a une preuve directe simple et n'a besoin que d'injectivité: à savoir, un langage à un élément est NP-complet sous plusieurs réductions si P = NP, mais ne peut pas être NP-complet sous un seul -une réduction.

— Emil Jeřábek

Pourquoi devrions-nous plutôt insister sur des réductions injectables? L'injectivité ne semble en aucune façon liée à l'objectif des réductions, le choix naturel est donc de ne pas l'exiger. Il existe de nombreuses autres restrictions arbitraires que l'on pourrait imposer, mais à quoi cela servirait-il?

— Emil Jeřábek

Pourquoi les ensembles finis ne devraient-ils pas être NP-complets lorsque P = NP? Notez que dans cette situation, d'autres ensembles stupides sont NP-complets même sous des réductions de un, comme l'ensemble de tous les nombres binaires impairs.

— Emil Jeřábek du

@JoshuaGrochow Nous n'avons pas besoin d'obtenir une réduction inv, li de l'inverse pour prendre soin de la durée opposée. Si nous prenons deux langues NP-complètes, elles ont toutes deux une réduction de Karp l'une par rapport à l'autre (mais ces réductions ne sont généralement pas l'inverse l'une de l'autre). Si maintenant nous supposons que toute réduction de Karp peut être faite inv, li, alors nous obtenons une réduction inv, li dans les deux directions, donc par le théorème cité elles peuvent être transformées en un p-isomorphisme.

— Andras Farago

$\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$

En fait, même les contre-exemples potentiels "contre nature" de la conjecture d'isomorphisme - les ensembles k-créatifs du théorème 2.2 de Joseph et Young - sont complets sous des réductions de un par construction.

[Répétée de mon commentaire ici :] Étant donné que la plupart des réductions multiples que nous réalisons sont en fait des réductions individuelles, pourquoi ne les étudions-nous pas lorsqu'elles sont formellement plus fortes et que nous les obtenons la plupart du temps de toute façon? Je pense que c'est plus simple de ne pas avoir à se soucier de prouver l'injectivité, même si nous l'avons généralement. En ce sens, peut-être que plusieurs réductions sont en quelque sorte des «réductions Boucle d'or»: juste la bonne puissance, juste la bonne simplicité de preuve.

— Joshua Grochow
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Existe-t-il une explication intuitive de la créativité des décors?

— Mohammad Al-Turkistany

Merci pour votre réponse. J'aurais aimé pouvoir accepter deux réponses.

— Mohammad Al-Turkistany

En fait, les réductions injectives sont utiles en cryptographie. Supposons que vous ayez un système de preuve ZK pour une relation NP R sur la langue L. Si vous voulez construire une preuve ZK pour une autre relation NP R 'sur une langue L', vous devez trouver deux fonctions f et g avec les propriétés suivantes : 1. x appartient à L 'si f (x) appartient à L, 2. Si (x, w) appartient à R' alors (f (x), g (x, w)) appartient à R. 3. De plus , f et g doivent être calculés efficacement.

Les propriétés ci-dessus impliquent que si le système de preuve pour R est complet et solide, le système de preuve pour R '(défini de manière évidente en utilisant les fonctions ci-dessus pour réduire les instances d'une relation avec l'autre) est complet et aussi solide.

Qu'en est-il de prouver que le nouveau système est également ZK ou impossible à distinguer des témoins (WI)? Si f est inversible, vous pouvez prouver que le système de preuve ainsi obtenu est ZK. Sinon, pour prouver que vous devez supposer que le système de preuve pour R est l'entrée auxiliaire ZK (plutôt que simplement ZK). Pour WI, si f est inversible, vous pouvez prouver que le système de preuve pour R 'est WI. Sans le fait que f soit inversible, je ne sais pas si vous pouvez prouver que

— Vincenzo IOVINO
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