Déterminer ce qui peut être réalisé par une permutation d'éléments d'un groupe non commutatif

Correction d' un groupe fini . Je m'intéresse au problème de décision suivant: l'entrée est quelques éléments de G avec un ordre partiel sur eux, et la question est de savoir s'il y a une permutation des éléments qui satisfait l'ordre et est telle que la composition des éléments dans ce l'ordre donne l'élément neutre du groupe e .$G$$G$$e$

Formellement, le problème du test $G$ est le suivant, où le groupe est fixe:$G$

• Entrée: un ensemble ordonné fini avec une fonction d'étiquetage μ à partir de P à G .$(P, <)$$\mu$$P$$G$
• Sortie: s'il existe une extension linéaire de (c'est-à-dire un ordre total ( P , < ′ ) tel que pour tout x , y ∈ P , x < y implique x < ′ y ), tel que, en écrivant les éléments de P suivant l'ordre total < ′ comme x 1 , … , x n , nous avons μ ( x 1 ) ⋅ ⋯ ⋅ μ $P$$(P, <')$$x, y \in P$$x < y$$x <' y$$P$$<'$$x_1, \ldots, x_n$ .$\mu(x_1) \cdot \cdots \cdot \mu(x_n) = e$

Pour tout groupe , le problème du test G est clairement dans NP. Ma question est la suivante: existe-t-il un groupe G tel que le problème du test G est difficile à NP?$G$$G$$G$$G$

Quelques remarques sur les énoncés de problèmes équivalents:

• Le langage des posets et des extensions linéaires peut être remplacé de manière équivalente par celui des DAG et des ordres topologiques. Autrement dit, si vous préférez, vous pouvez considérer l'entrée comme un DAG avec des sommets étiquetés avec des éléments de groupe, et comme la sortie comme demandant si une sorte topologique du DAG d'entrée atteint .$e$
• On pourrait plutôt considérer un problème plus difficile où l'on nous donne un poset et g ∈ G , et demander si g (plutôt que e ) peut être réalisé. En fait, le problème le plus fort se réduit à ce qui précède: on peut se demander si e peut être réalisé par ( P ′ , < ) , où P ′ est P mais avec un élément appelé g - 1 qui est plus petit que tous les autres. D'où le choix naturel de e dans la définition ci-dessus.$(P, <)$$g \in G$$g$$e$$e$$(P', <)$$P'$$P$$g^{-1}$$e$

Maintenant, à propos de mes tentatives pour résoudre le problème:

• Bien sûr, si le groupe est commutatif, le problème du test G est clairement dans PTIME car toutes les extensions linéaires atteignent le même élément de groupe, nous pouvons donc simplement choisir l'un d'eux par tri topologique et vérifier s'il est e ou non. Le cas intéressant est donc G non commutatif . Plus généralement, si G a un homomorphisme avec un groupe commutatif non trivial (par exemple, la signature , pour les permutations), une condition nécessaire mais non suffisante est d'examiner le problème à travers l'homomorphisme et de le vérifier dans PTIME dans l'image commutative . Je ne vois pas si cela peut se généraliser à un schéma de décomposition pour tous les groupes finis.$G$$G$$e$$G$$G$
• Si la relation d'ordre est vide (c'est-à-dire que l'on nous donne un multi-ensemble d'éléments dans et que nous pouvons utiliser n'importe quelle permutation), le problème peut être résolu par programmation dynamique, où les états sont le nombre d'occurrences de chaque élément dans G qui sont encore non utilisé (rappelez-vous que G est fixe, donc le nombre d'états est alors polynomial en entrée).$G$$G$$G$
• Pour les entrées qui sont des posets de largeur constante, nous pouvons utiliser un algorithme dynamique suite à une décomposition en chaîne. Donc, si la dureté tient, elle doit utiliser des posets d'entrée qui sont arbitrairement larges. Notez que pour des posets larges, le nombre "d'états" possibles dans une approche de programmation dynamique serait le nombre de bouleversements du poset, qui est en général exponentiel et non polynomial, de sorte que cette approche ne fonctionne pas directement.
• $G$
• $e$

$G$$G$$G$$G$$\Sigma$$A$$\Sigma$$A$$\Sigma$$A$

$G$$G$

preuve

$f(x) = -x$$g_a(x) = x + a$

$G$$f$$g_a$

$G$$\{f \circ g_a | a \in \mathbb{Z} \} \cup \{g_a | a \in \mathbb{Z} \}$

$G$

$a_1, a_2, ..., a_n$

$P$$n+2$$f$$n$$g_{a_i}$$i = 1,..., n$

$g_p \circ g_q = g_{p+q}$$f \circ g_p \circ f = g_{-p}$$P$$g_{\sum_{i \not\in I}a_i - \sum_{i \in I}a_i}$$I$$g_{a_i}$$f$$g_0$$P$$\sum_{i \not\in I}a_i - \sum_{i \in I}a_i = 0$$\sum_{i \not\in I}a_i = \sum_{i \in I}a_i$

$G$$I$$\sum_{i \not\in I}a_i = \sum_{i \in I}a_i$

$G$$G$

Avec mon coauteur, nous venons de publier une préimpression qui étudie ce problème plus généralement pour les langues régulières. Dans le cas des groupes finis, nous affirmons que le problème est traitable (en NL) dans le cas où l'ordre partiel sur les éléments consiste en une union de chaînes: voir Théorème 6.2. Nous supposerions que le problème pour les DAG généraux est également en NL, et il y a un certain espoir d'étendre la technique à ce paramètre, mais il nous manque un ingrédient pour cela, lié à cette question - pour plus de détails, voir la préimpression, Section 6, paragraphe "Limitations" à la fin, deuxième limitation.